3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优秀公开课教案

课时作业(十六) 一、选择题

1．已知i，j，k是空间直角坐标系O－xyz中x轴、y轴、z轴正→方向上的单位向量，且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为(

) A．(－1,1，－1)

C．(1，－1，－1)

B．(－i, j，－k) D．不确定

→→解析：由AB＝－i＋j－k，只能确定向量AB＝(－1,1，－1)，而向→量AB的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定．

答案：D 2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．

答案：B 3．在以下三个命题中，真命题的个数是(

) ①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；

②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；

③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，

则{a，b，c}构成空间的一个基底．

A．0

C．2

B．1

D．3 解析：①正确．基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a、b、c共面，故只有①②正确．

答案：C 4．有下列叙述：

①在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；

②在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可写成(0，b，c)；

③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；

④在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标是(a,0，c)．

其中正确的个数是(

) A．1

C．3

解析：①错，②③④正确．

答案：C 5．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(

) A．(3,4,5)

C．(4,5,3)

B．(5,4,3) D．(4,3,5) B．2

D．4 解析：依题意知p＝a＋2b＋3c＝(i＋j)＋2(j＋k)＋3(k＋i)＝4i＋3j＋5k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(4,3,5)．

答案：D →→→6．如图所示，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，

→→→→点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，MN＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(

)

121A.2，－3，2

112C.2，2，－3

→→→→解析：MN＝MA＋AB＋BN

→→1→1→＝3OA＋(OB－OA)＋2BC

→→1→→1→＝3OA＋(OB－OA)＋2(OC－OB) 2→1→1→＝－3OA＋2OB＋2OC，

211∴x＝－3，y＝2，z＝2，故选B. 答案：B 二、填空题

→→7．已知空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，→对角线AC、BD的中点分别为E、F，则EF＝________. 211B．－3，2，2

221D.3，3，－2

→→→→→→→→解析：∵EF＝EA＋AB＋BF，又EF＝EC＋CD＋DF，

→→→→→→→∴两式相加，得2EF＝(EA＋EC)＋AB＋CD＋(BF＋DF)．

∵E为AC的中点，

→→→→故EA＋EC＝0，同理BF＋DF＝0. →→→∴2EF＝AB＋CD＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝6a＋6b－10c. →∴EF＝3a＋3b－5c. 答案：3a＋3b－5c

8．(2011年山东滨州六校联考)在空间四边形ABCD中，AC与BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝2ED，以→→→→{AB，AC，AD}为基底，则GE＝________.

→→→→解析：GE＝GM＋MB＋BE

1→1→2→＝3AM＋2CB＋3BD

11→→1→→2→→＝3×2(AB＋AC)＋2(AB－AC)＋3(AD－AB)

1→2→＝－3AC＋3AD. →1→2→答案：0×AB－3AC＋3AD

9．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为________．

解析：d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3，

α＋β＋γ＝1，则α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，

51

∴α＝2，β＝－1，γ＝－2. 51答案：2，－1，－2

三、解答题

10．若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．

解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，

∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．

1＝μ∴1＝λ0＝λ＋μ

.此方程组无解．

∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．

∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．

11．如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分

别是AB、PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标→系，求向量MN的坐标．

解：∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD

→→→∴AB、AD、AP是两两垂直的单位向量．

→→→设AB＝e1，AD＝e2，AP＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.

→→→→法一：∵MN＝MA＋AP＋PN

1→→1→＝－2AB＋AP＋2PC

1→→1→→＝－2AB＋AP＋2(PA＋AC)

1→→1→→→＝－2AB＋AP＋2(PA＋AB＋AD) 1→1→11＝2AD＋2AP＝2e2＋2e3，

→11∴MN＝(0，2，2)．

法二：如图所示，连接AC、BD交于点O. 则O为AC、BD的中点，连接MO，ON，

→1→1→→1→∴MO＝2BC＝2AD，ON＝2AP，

→→→1→1→∴MN＝MO＋ON＝2AD＋2AP

11＝2e2＋2e3. →11∴MN＝(0，2，2)．

→→12．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝a，AD→＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且|CQ|∶|QA′|＝4∶1，用基底{a，b，

c}表示以下向量：

→→→→(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.

解：连接AC、AD′. →1→→(1)AP＝2(AC＋AA′) →1→→＝2(AB＋AD＋AA′) 1＝2(a＋b＋c)；

→1→→(2)AM＝2(AC＋AD′) →→1→11＝2(AB＋2AD＋AA′)＝2a＋b＋2c；

→1→→(3)AN＝2(AC′＋AD′) →→→1→→＝2[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)] →→1→1＝2(AB＋2AD＋2AA′)＝2a＋b＋c；

→→→→4→→(4)AQ＝AC＋CQ＝AC＋5(AA′－AC) 1→1→4→＝5AB＋5AD＋5AA′

114＝5a＋5b＋5c. 13．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别12在B1B和D1D上，且BE＝3BB1，DF＝3DD1.

(1)证明：A、E、C1、F四点共面；

→→→→(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z.

→→→→→→1→2→→解：(1)因为AC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋3AA1＋3AA1＝(AB＋→2→→→→→→→1→3AA1)＋(AD＋3AA1)＝AB＋BE＋AD＋DF＝AE＋AF

所以A、E、C1、F四点共面．

→→→→→→→→2→→(2)因为EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋3DD1－AB－→→1→1→3BB1＝－AB＋AD＋3AA1. 1所以x＝－1，y＝1，z＝3. 1所以x＋y＋z＝3. [拓展延伸] 14．已知向量p在基底a，b，c下的坐标是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．

解：由已知p＝2a＋3b－c，

设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc. x＋y＋z＝2，故有y＋z＝3，z＝－1，

x＝－1，解得y＝4，z＝－1，

∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1,4，－1)．