1.1.1 命题第一课时教学实录

1.1

命题及其关系

第1课时

命

题

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P2～P4，回答下列问题．

观察教材P2“思考”中的6个语句．

(1)这6个语句都是陈述句吗？

提示：是．

(2)能否判断这6个语句的真假性？

提示：能．

2．归纳总结，核心必记

命题及相关概念



陈述句真命题：判断为真的语句命题分类假命题：判断为假的语句

形式：

“若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做

命题的结论定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的

[问题思考] (1)“x>5”是命题吗？

提示：不是．

(2)陈述句一定是命题吗？

提示：不一定．

(3)命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的条件和结论各是什么？

提示：条件：x＝2；结论：x2－3x＋2＝0. (4)“若p则q”形式的命题一定是真命题吗？

提示：不一定．

(5)数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？

提示：是．

[课前反思] (1)命题的定义是：

；

(2)真、假命题的定义是：

；

(3)命题的条件和结论的定义是：

知识点1

[思考]

一个语句是命题应具备哪两个要素？

提示：(1)是陈述句；(2)可以判断真假．

讲一讲

1．判断下列语句中，哪些是命题？(链接教材P2－例1) 1(1)函数f(x)＝在定义域上是减函数；

x(2)一个整数不是质数就是合数；

(3)3x2－2x>1；

(4)在平面上作一个半径为4的圆；

(5)若sin α＝cos α，则α＝45°；

(6)2100是一个大数；

(7)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？

(8)若x∈R，则x2＋2>0. [尝试解答]

(1)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(2)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(3)当x∈R时，3x－2x与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题．

(4)不是陈述句，不是命题．

(5)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(6)是陈述句，但是“大数”的标准不确定，所以无法判断其真假，不是命题．

(7)不是陈述句，不是命题．

(8)是陈述句，且能判断真假，是命题．

类题·通法

(1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．

(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若能，就是2命题的概念

命题；若不能，就不是命题．

(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．

(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题．

练一练

1．下列语句是命题的是(

) A．你的目标是考上北京大学吗？

B．共线的向量相等

C．抛掷一枚骰子，统计向上的点数

D．向抗洪英雄学习！

解析：选B

A是疑问句，所以A不是命题；C为祈使句，所以C不是命题；D是感叹句，所以D不是命题；很明显B是命题．故选B. 2．给出下列语句：

①∅∈{1,2}；

②函数y＝2x－1是增函数吗？

1③sin 30°＝；

2④若log4m＝1，则m＝2；

⑤求证：函数f(x)＝1－2x在区间[－1,4]上是减函数．

其中是命题的有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析：选C

①③④为陈述句，且可以判断真假，所以是命题，②是疑问句，⑤是祈使句，所以②⑤不是命题．故选C.

知识点2

讲一讲

命题的构成形式

2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(链接教材P3－例2、例3) (1)等边三角形的三个内角相等；

(2)当a>1时，函数y＝ax是增函数；

(3)菱形的对角线互相垂直．

[尝试解答]

(1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．

其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．

(2)若a>1，则函数y＝ax是增函数．其中条件p：a>1，结论q：函数y＝ax是增函数．

(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直．

类题·通法

(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．

(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如，命题“在△ABC中，若a>b，则A>B”中，大前提“在△ABC中”是必不可少的．

练一练

3．指出下列命题的条件和结论：

(1)若2b＝a＋c，则b是a，c的等差中项；

(2)等比数列不存在等于0的项；

(3)不等式x2－2x<0的解集是(0,2)．

解：(1)条件：2b＝a＋c，结论：b是a，c的等差中项．

(2)条件：一个数列是等比数列，结论：这个数列中不存在等于0的项．

(3)条件：x2－2x<0，结论：解集是(0,2)．

知识点3

讲一讲

3．判断下列各命题的真假，并说明理由．

(1)若a2>b2，则a>b；

(2)在△ABC中，当A>60°时，必有sin A>3；

2判断命题的真假

(3)两个向量相等，它们一定是共线向量；

(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝1相切．

[尝试解答]

(1)假命题．例如，当a＝－3，b＝1时，a2>b2，但a>b不成立．

13(2)假命题．例如，当A＝150°时，A>60°，但sin A＝，不满足sin A>. 22(3)真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量．

(4)假命题．圆心(1，－1)到直线y＝x的距离为d＝2>1，所以直线与圆相离．

类题·通法

(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．

(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法：若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真；判定“若p，则q”是假，只需举一反例即可．

练一练

4．给出下列命题：

①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；

②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；

③若x2>x，则x>1；

④函数y＝x3是指数函数．

其中假命题的个数为(

) A．1

B．2 C．3

D．4 解析：选C

①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，

知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．故选C. 5．判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x＝4时，2x＋1<0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；

(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0. (3)是真命题，由x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0. (4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．

——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————

1．本节课的重点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)将命题改写成“若p，则q”的形式，找准命题的条件和

结论，见讲2. (2)判断命题的真假性，见讲3. 3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．