小结教学内容分析

小结——空间向量在立体几何角度问题中的应用

高考中立体几何为必考内容，并且通常有一道综合题，其中立体几何角度问题是重点考察内容。空间向量为处理立体几何角度问题提供了新的视角，用向量法来解，往往可以另辟蹊径，降低难度。传统方法求解异面直线所成角时，一般要平移两异面直线中的一条或两条直至相交，但有时为了找到易于计算的平行线，需要作多条辅助线，且很难找到，再有也可能会感到无从着手。用传统方法求直线与平面所成角时，先要找平面的垂线，有时候并不容易找到，即使能找到也要作多条辅助线，且有时很难找到。用传统方法求二面角，先要找到二面角的平面角，找平面角也并不容易。所以本文引入空间向量，用向量代数来解立体几何角度问题，从而使学生解题难度降低、思路简单、步骤清楚，能迅速地解决问题。

一、用空间向量求线线角. 例1、（2014 新课标Ⅱ卷

理11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

30A. 1 B. 2 C. D. 2

210510

如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为X,Y,Z轴，建立坐标系。令AC=BC=C1C=2,则A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0).∴BM=(-1,1，-2），AN=(0,-1，-2）。cosθ=BM•AN|BM|•|AN|=0-1+430=.故选C.1065

说析：这是一道选择题，若用传统方法，做起来非常复杂，大部分同学浪费大量时间也未必能解对。但这个题我们采用向量法难度减小了很多，把角的求解转化为向量的运算，这体现了转化的数学思想。但在求解的过程中要注意异面直线的夹角与向量夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系。

二、用空间向量求线面角. 例2、（2008海南、宁夏卷，18）如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对DC

角线BD上，PDA60．

A

B

（Ⅰ）求DP与CC所成角的大小；

P （Ⅱ）求DP与平面AADD所成角的大小．

D C

A B

解：如图，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz。

1

则DA1,0,0,CC0,0,1. 连结BD,BD. 在平面BBDD中，延长DP交BD于H. 设DHM,M,1M0, 由已知DH,DA60, A z DA

D C

H B

P C B y 由DADHDADHcosDH,DA

x 可得2m2m21。

解得m222，所以DH

,,122222001122CC2（Ⅰ）因为cosDH，，所以DH，

CC45．212即DP与CC所成的角为45．

（Ⅱ）平面AADD的一个法向量是DC(01，，0)．设DP与平面AADD所成的角为 因为

，

 = 30．可得DP与平面AADD所成的角为30．

DC60，所以DH，说析：此题第二问若用传统方法，根本无从着手，但是采用向量法并且运用转化的数学思想方法把直线与平面的夹角转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，减少了复杂的空间结构分析，使思路简捷，方法清晰，运算直接。但由于向量方向的变化，所以要注意直线与平面的夹角与直线的方向向量与平面的法向量的区别与联系。

三、用空间向量求二面角. 例3、（2016新课标Ⅰ卷

理）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°．

2

（I）证明：平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E－BC－A的余弦值．

解析：（I）由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC．

又AF平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC．

（II）过D作DG⊥EF，垂足为G，由（I）知DG⊥平面ABEF．

以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz．

由（I）知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE=60°，则|DF|=2，|DG|=3，可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，3)． 由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC．

又平面ABCD∩平面EFDC=CD，故AB∥CD，CD∥EF．

由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF=60°．从而可得C(－2，0，3)．

所以EC(1，0，3)，

EB=(0,4,0) ，AC(3，4，3)，AB=(－4,0,0)．

设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，则

nEC0,x3z0,，即

4y0.nEB0,所以可取n=(3，0，－3)．

mAC0,设m是平面ABCD的法向量，则

mAB0,同理可取m=(0，3，4)．则cosn,m故二面角E－BC－A的余弦值为

nm219．

nm19219．

193

说析：本题考察了同学们的逻辑推理能力、空间想象能力，考察分析问题以及解决问题的能力。第二问如果直接找二面角的平面角很复杂，采用空间向量把二面角的平面角转化为两平面的法向量的夹角，起到了化繁为简的作用。这种求二面角的方法应引起我们的重视。需要注意的是两平面法向量的夹角可能与所求的二面角相等，也可能与所求的二面角互补，注意所求角的范围。

四、总结

从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是一道解答题，二至三道填空题或选择题。解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考察线线关系、线面关系和面面关系。其解答方法一般有两种以上，并且一般能用空间向量来求解。近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题都着重考察应用空间向量求异面直线所成角、二面角。证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题。

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