2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学评价实录

授课标题

学习目标

直线与平面的位置关系

1、直线与平面的位置关系及其符号表示；直线与平面平行的判定定理、性质定理及其应用．

2、理解直线和平面垂直的定义及相关概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；能初步应用这两个定理．

3、了解直线和平面所成角的概念和范围；能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理.

1、空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系；用图形表达直线与平面的位置关系；直线与平面平行的判定定理及应用

2、直线与平面垂直的定义和判定定理的探究

3、直线与平面所成角的概念

重点难点

授课内容

一、基本知识点

1．直线和平面位置关系

位置关系

公共点

符号表示

直线a在平面内

直线a与平面相交

直线a与平面平行

图形表示

2．直线和平面平行的判定定理

语言表示：

图形表示：

符号表示：

E 例

如图，已知E、F分别是三棱锥A－BCD的侧棱AB、AD中点，B 证：EF//平面BCD．

[变式]：若M、N分别是△ABC、△ACD的重心，则MN//平面BCD吗?

A F 求D C

3．直线和平面平行的性质定理

语言表示：

图形表示：

符号表示：

例.M,N,P分别为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD上的点，且AM:MB=CN:NB=CP:PD.

求证：⑴AC∥平面MNP，BD∥平面MNP；

A⑵平面MNP与平面ACD的交线∥AC．

EM

B

NP

C

D4．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面内的 直线都 ，那么直线a与平面互相垂直，记作 ．直线a叫做平面 ；平面叫做直线a的 ；垂线和平面的交点称为 ．

思考：①在空间过一点有几条直线与已知平面垂直？

②在空间过一点有几个平面与已知直线垂直？

5.从平面外一点引平面的垂线， ，叫做这个点到这个平面的距离．

6.直线和平面垂直的判定定理

语言表示：

图形表示：

符号表示：

例

如图，已知PA⊥，PB⊥，垂足分别为A，B，且∩=l，

求证：l⊥平面APB．

7．直线和平面垂直的性质定理

语言表示：

图形表示：

符号表示：

例．在三棱锥PABC中，顶点P在平面ABC内的射影是ABC外心O，

求证：PAPBPC．

8．平面的斜线的定义： ；

叫做斜足； 叫做这个点到平面的斜线段．

9．过平面外一点P向平面引斜线和垂线，那么过斜足Q与垂足P1

的直线就是 ；

线段P1Q就是线段PQ A 10．斜线与平面所成的角的概念 O P B

C

，其范围是 ．

指出右上图中斜线PQ与平面所成的角是 ，你能证明这个角是PQ与平面内经过点Q的直线所成的所有角中最小的角吗？

一条直线垂直于平面时，这条直线与平面所成的角是

；

一条直线与平面平行或在平面内，我们说他们所成的角是

．

思考：直线与平面所成的角的范围是

．

例1.设PA、PB、PC是从点P引出的三条射线, 每两条的夹角都等于60°，

则直线PC与平面APB所成角的余弦值是 ．

例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，⑴求直线A1B和平面ABCD所成的角；

⑵求直线A1C和平面ABCD所成的角的正弦值；

⑶求直线AB1和平面ABC1D1所成的角．

二、典型例题

线面平行

例1．如图，在四棱锥P－ABCD中，M、N分别是AB、PC的中点，若ABCD是平行四边形，

求证：MN//平面PAD．

P

N

D C

A

B M 例3.已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．

线面垂直

例1.已知：E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点，EF交AC于M，GC垂直平面ABCD．

⑴求证：EF⊥平面GMC；

⑵若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．