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立体几何中的向量方法

1. 如图，几何体EFABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB//CD，ADDC，AD2，AB4，ADF90．

（1）求异面直线BE和CD所成角的大小；

E（2）求几何体EFABCD的体积．

F

C

D

BA

2.如右图,在底面为平行四边形的四棱柱ABCDA1BC11D1中,D1D底面ABCD,AD1, CD2,DCB60．

(Ⅰ)求证:平面A1BCD1平面BDD1B1；

(Ⅱ)若D1DBD,求四棱锥DA1BCD1的体积．

3.已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点。

求证：（1)A1CB1D1 (2)C1O∥面AB1D1；

D1A1DOA

C1B1CB

4直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90o，AB2AD2CD2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；

（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．

5.如图：ABC是边长为2的正三角形，EC面ABC，BD//CE，且CE=CA=2BD，M是EAE

DMCBA的中点.

①求证：DE=DA; ②求证：DM // 面ABC; ③求三棱锥A-DEC的体积

试卷答案

1.

（1）解法一：在CD的延长线上延长至点M使得CDDM,连接ME,MB,BD. 由题意得，ADDC，ADDF，DC,DF平面CDEF，

∴AD平面CDEF，∴ADDE，同理可证DE面ABCD. ∵

CD//EF，CDEFDM，

E∴EFDM为平行四边形，

∴ME//DF. 则MEB（或其补角）为异面直线DF和BE

所成的角. ………………3分

D由平面几何知识及勾股定理可以得

MFCBNME22，BE26，BM210

在△MEB中，由余弦定理得

ME2BE2BM23．

cosMEB2MEBE6∵

异面直线的夹角范围为0,，

2DFBE∴

异面直线和3． ………………7分

arccos6A所成的角为

解法二：同解法一得AD,DC,DE所在直线相互垂直，故以D为原点，DA,DC,DE所在直线

分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………………2分

可得D0,0,0,F0,2,2,B2,4,0,E0,0,2，

∴

DF(0,2,2),BE(2,4,2)，

得DF22,BE26. ………………4分

设向量DF,BE夹角为，则

EzFcosDFBEDFBE02242222263．

6xADCBy∵

异面直线的夹角范围为0,，

2DFBE∴

异面直线和3arccos． ………………7分

6所成的角为

（２）如图，连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，则BN平面CDEF，且BN2. ………9分

∵VEFABCDVEABCDVBECF

……………11分

EF11S△ABCDDES△EFCBN

331111(42)22222

323216. 316 ∴

几何体EFABCD的体积为.……14分

32.解：（Ⅰ）证明：

在ABD中,由余弦定理得：BDDCABNAD2AB22ADABcosDCB3，所以2,所以ADB90,即ADBD， …………3分

AD2BD2AB 又四边形ABCD为平行四边形,所以BCBD，又D1D底面ABCD,BC底面ABCD,所以D1DBC，

又D1DBDD,所以BC平面BDD1B1, ……

……………………5分 又BC平面A1B1． ……………………6分

1BCD1,所以平面A1BCD1平面BDD(Ⅱ)法一：连结BD1，∵DD1BD3，∴BD16

∵BC平面BDD1B1，所以BCBD1， ……………………………8分

D1 A1 M D A

C1 B1 C B 所以四边形A1BCD1的面积1SA1BCD12BCBD16， …………10分

2取BD1的中点M，连结DM，则DMBD1，且DM又平面A1BCD1平面BDD1,平面A1BCD1所以DM平面A1BCD1，

所以四棱锥DA1BCD1的体积：V6，

2平面BDD1BD1，

1SABCDDM1． ……12分

311

法二: 四棱锥DA1BCD1的体积VVDA1BD1VDBCD1，……………8分

而三棱锥DA1BD1与三棱锥DBCD1底面积和高均相等，……………10分

所以略

VVDA1BD1VDBCD12VDBCD112VD1BCD2SBCDDD113．…12分

3.证明：（1）

由ABCD—A1B1C1D1 是正方体，所以A1C1B1D11 …2分 又A1A平面A1B1C1D1,所以

A1AB1D12……4分

又AA1A1C1A13 由123有B1D1平面A1ACC1,而A1C平面A1ACA1,所以A1CB1D1……6分

（2）.连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1, 由ABCD—A1B1C1D1 是正方体，所以AC//A1C1,且O1C1AO即四边形OCC1O1是平行四边形。所以AO1//OC1.

又AO1平面AB1D1,CC1//平面AB1D1.…………14分

略

4.证明：（Ⅰ）

直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．

…2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，AB2AD2CD2，

∴AC2，∠CAB＝45°，∴BC2，

BC⊥AC． …………………4分

又BB1BCB，BB1,BC平面BB1C1C，

AC⊥平面BB1C1C． ……6分

（Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点． ………………………………………………7分

1证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝AB．

……………………8分

21又∵DC‖AB，DC＝AB，DC

∥PB1，且DC＝ PB1，

2∴DC

B1P为平行四边形，从而CB1∥DP． …………… …………………10分

又CB1面ACB1，DP

面ACB1，DP‖面ACB1． ……………………11分

同理，DP‖面BCB1． …………………………………………………………12分

略

5.证明：①EC面ABC，BD//CE，

∴DB⊥平面ABC……………………1分

ABC是边长为2的正三角形且CE=CA=2BD，

1AC.……11分

2在直角三角形ABC中，可求得ADDEAD……………………4分

5……………………2分

在直角梯形ECBD中，可求得DE5……………………3分

②证明：设AC的中点为F,则MF//EC,MF1EC,……………5分

2

由①DB//EC,DB  BF//DM ……………………………7分

1EC…………6分

2MF//DB,MFDB

又



DM//平面ABC,…………

…………

…………9分

③

易证DM平面AEC,平面ADE平面AEC,

过C作CHAE,则CH平面ADE,CH之长为点C到平面ADE的距离……11分

易求得CH略

DM平面ABC,BF平面ABC, …………8分

2。…………12分