信息技术应用 图形技术与函数性质教案2

3.3导数在研究函数中的应用

———利用导数解决函数的零点及方程根的问题

高二（ ）班 姓名_______________ 一

学习目标：

1、理解导数与函数的单调性、极值、最值问题的关系；

2、掌握函数的零点、方程的根、函数图象三者之间的关系；

3、会利用导数解决函数（主要三次）的零点及方程的根及参数范围问题。解题一般策略：数形结合，参变分离；核心思想是函数零点等价转化为函数值域问题。

二

学习过程：

（一）复习引入：

1回顾导数与函数的单调性，极值，最值的关系

2回顾求基本初等函数的零点及零点存在区间的方法

(1).已知函数，在下列区间中包含零点的是（ ）

A. B. C. D.

(2).

函数（其中）零点的个数是（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 (3).若函数fx2xa2x2a的零点在区间0,1上，则a的取值范围是（A．12 B．,1 C．1,2, D．1,

（二）典例剖析：

例1、方程x36x29x40的实根的个数为

．

变式探究1：函数f(x)x36x29x4a有3个不同的零点，

则实数a的取值范围是什么？

思考：若原函数有2个零点或1个零点, 实数a的取值范围是什么？

）

变式探究2(课后思考)、[2014·北京卷] 已知函数f(x)＝2x－3x.

若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；

例2．设函数f(x)lnx3m,xR

xx零点的个数。

3(1)当me (e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；（课堂不做）

(2)讨论函数g(x)f(x)

'

x2klnx,k0

例3设函数f(x)2(1)求f(x)的单调区间和极值；

(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．

（三）学习小结：

两种关系：

1方程f(x)0有实数根函数yf(x)有零点函数yf(x)的图像与x轴有交点

2导数与函数的单调性、极值、最值问题的关系；

两种思想：数形结合，化归思想

三种题型：

1 利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数

2 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围

3证明复杂函数在某区间上有且只有一个零点

（四）课后作业：

1.

设函数f(x)x求3

92x6xa，若方程f(x)0有且仅有一个实根，

2a的取值范围． 322. (14新课标1)已知函数f(x)=ax3x1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0＞0,则a的取值范围为( ) A.（2,+∞） B.（-∞,-2） C.（1,+∞） D.（-∞,-1）

3.已知函数f(x)＝x－3ax－1，a≠0.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，

求m的取值范围．

4．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x＋ax－2(a∈R)．

(1)判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数（课堂不做）

231(2)当x∈，e时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围．

e

【名师点评】

一.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路：

（1）将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴（或直线y＝a在该区间上的交点问题. （2）利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值最值、端点值等性质，进而画出其图象，并结合图象求解. 二

解决复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤

(1)在该区间上构造与方程相应的函数；

(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性，若是单调函数，则进行下一步；

(3)判断该函数在该区间端点处的函数值异号；

(4)得出结论．

答案【变式探究2】

3(设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x0－3x0，且切线斜2率为k＝6x0－3，

223所以切线方程为y－y0＝(6x0－3)(x－x0)，因此t－y0＝(6x0－3)(1－x0)，整理得4x0－26x0＋t＋3＝0，

32设g(x)＝4x－6x＋t＋3，

则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．

2g′(x)＝12x－12x＝12x(x－1)．当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：

）

x (－∞，0)

0

(0，1)

1

(1，＋∞)

g′(x)

＋

0

－

0

＋

g(x)

t＋3

t＋1

所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．

g（0）＝t＋3>0，结合图像知，当g(x)有3个不同零点时，有解得－3

x1mx例2(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－2－(x>0)，

3xx313令g(x)＝0，得m＝－x＋x(x>0). 6分

3132设φ(x)＝－x＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x＋1＝－(x－1)(x＋1)，

7分

3当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．

∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，

2∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 3又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知

8分

2①当m>时，函数g(x)无零点；

32②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；

32③当0

3④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点. 2综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；

32当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；

32当0

9分

10分

kx2－k [解]

(1)由f(x)＝－kln x(k＞0)，得x＞0且f′(x)＝x－＝. 2分

2xxf(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：

x (0，k)

k (k，＋∞)

f′(x－

0

＋

)

f(x)

所以，f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，＋∞)．f(x)在x＝kk－ln k处取得极小值f(k)＝. 6分

2(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)＝

因为f(x)存在零点，所以x2k－ln k. 28分

k－ln k≤0，从而k≥e.

2当k＝e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0，

所以x＝e是f(x)在区间(1，e]上的唯一零点. 10分

1e－k当k＞e时，f(x)在区间(1，e]上单调递减，且f(1)＝＞0，f(e)＝＜0，

22

12分

所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点. 综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点. 课后作业

1.设函数f(x)x围． 解：f(x)3x9x63(x1)(x2)

'2314分

16分

92x6xa，若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范2'''因为

当x1时, f(x)0;当1x2时, f(x)0;当x2时, f(x)0; 所以

当x1时,f(x)取极大值

f(1)5a;

2 当x2时,f(x)取极小值

f(2)2a; 故当f(2)0

或f(1)0时, 方程f(x)0仅有一个实根. 解得

a2或a325. 22. (14新课标1)已知函数f(x)=ax3x1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0＞0,则a的取值范围为( ) A.（2,+∞） B.（-∞,-2） C.（1,+∞） D.（-∞,-1）

2. B【解析1】:由已知当时,且当要使【解析2】:由已知时,有唯一的零点,=且＞0,只需,即,,有小于零的零点,不符合题意。

,选B

,,令,得或, ；

有唯一的正零点,等价于,则问题又等价于有唯一的正零根,令与有唯一的正零根,即

有唯一的交点且交点在在y轴右侧,记

,由,, ,,要使3有唯一的正零根,只需,选B 3.已知函数f(x)＝x－3ax－1，a≠0.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

22解：(1)f′(x)＝3x－3a＝3(x－a)，

当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，

所以当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)，

当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a，

由f′(x)<0，解得－a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．

(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，

2所以f′(－1)＝3×(－1)－3a＝0，所以a＝1. 32所以f(x)＝x－3x－1，f′(x)＝3x－3. 由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 由(1)中f(x)的单调性，可知f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，

在x＝1处取得极小值f(1)＝－3. 因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，

又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，

结合f(x)的单调性，可知m的取值范围是(－3,1)．

24．(2)y＝f(x)－g(x)＝x－ax＋2＋xln x，

2由y＝0得a＝x＋＋ln x，

6分

x2令h(x)＝x＋＋ln x，

x则h′(x)＝x－x2x＋. 8分

10分

1当x∈，e，由h′(x)＝0得x＝1，

e1所以，h(x)在，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，

e11因此，h(x)min＝h(1)＝3由h＝＋2e－1，

ee21h(e)＝e＋＋1比较可知h>h(e). ee2所以，当3

13分

14分

15.（选做）

(2017·武汉质检)设函数f(x)＝cln x＋x2＋bx(b，c∈R，c≠0)，且x＝1为2f(x)的极值点．

(1)若x＝1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；

(2)若f(x)＝0恰有两解，求实数c的取值范围．

【名师点评】

一.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路：

（1）将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴（或直线y＝a在该区间上的交点问题. （2）利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值最值、端点值等性质，进而画出其图象，并结合图象求解. 二

解决复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤

(1)在该区间上构造与方程相应的函数；

(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性，若是单调函数，则进行下一步；

(3)判断该函数在该区间端点处的函数值异号；

(4)得出结论．

）

2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤：

第一步：利用导数证明该函数在该区间上单调. 第二步：证明端点值异号.

评析：求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求

【考点定位】函数零点

【名师点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法。

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决。

【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论，本题用的就是思路2.

利用导数确定函数零点或方程根个数的方法

(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解．

(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．

解决复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤

(1)在该区间上构造与方程相应的函数；

(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性，若是单调函数，则进行下一步；

(3)判断该函数在该区间端点处的函数值异号；

(4)得出结论．