习题4.2PPT专用课堂实录内容

直线与圆的位置关系（复习课）

茂名市第五中学 陈耀辉 2016.04.20 一、

学习目标(备考指南) 1.

知识目标：掌握圆的方程及圆心坐标、半径，能判断直线与圆的位置关系、会求轨迹方程及弦长；

2.

能力目标：培养学生分析问题的能力，利用方程的思想、数形结合的思想来解决问题，提高思维能力；

3.

德育目标：体验数学的美、感悟数学的方程思想、数形结合思想、应用数学的思想。

二、学习重点：直线与圆的位置关系判断、求轨迹方程、圆的弦长及与圆有关的综合题。

三、学习难点：方程的思想、数形结合思想、弦长公式、不等式解法

四、教学方法：启发类比、讨论释疑 教学手段：多媒体辅助教学

五、教学过程

（一）复习回顾（略）

（二）点拨提高

一、备考指南（两点，1分钟）

二、复习直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的弦长的求法（2分钟）

三、题型训练（28分钟）与方法点拨（2分钟）

四、高考题赏析（10分钟）

五、小结（2分钟）（提问：1.这节课你学会了什么？2.你还有什么问题？）

七、作业布置

题型一、直线与圆的位置关系

221.【2012陕西理4】已知圆C:xy4x0，l过点P(3,0)的直线，则（

）

A.l与C相交

B. l与C相切

C.l与C相离

D. 以上三个选项均有可能

【答案】A.【解析】圆的方程可化为(x2)y4，易知圆心为(2,0)半径为2，圆心到点P的距离为1，所以点P在圆内.所以直线与圆相交.故选A. 1 圆的方程教案

22

2.【2012重庆理3】任意的实数k，直线定是( ) ykx1与圆xy2的位置关系一22A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心

【答案】C 【解析】直线ykx1恒过定点(0,1)，定点到圆心的距离d1即定点在圆内部，所以直线2，ykx1与圆相交但直线不过圆心，选C. 3．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是

.

解析

将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心坐标为(1,－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离|3×1＋4×－2＋m||m－5|大于半径，即d＝＝>1，∴m<0或m>10. 2253＋4题型二、求直线或圆的轨迹方程

1．(2010·全国)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为____________．

解析

由题意知，可设圆的方程为x2＋y2＝r2，则r＝∴圆的方程为x2＋y2＝2. 2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为(

) A．x＋3y－2＝0

B．x＋3y－4＝0 C．x－3y＋4＝0

D．x－3y＋2＝0 【答案】D 解析

圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标

为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－3＝k(x－1)，

即kx－y－k＋3＝0，∴解得k＝

2 圆的方程教案

|－2|＝2，

2|2k－k＋3|＝2，

2k＋133.∴切线方程为y－3＝(x－1)，即x－3y＋2＝0. 33

3.(2011·天津模拟)过点(2，3)且与圆(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为

．

解析：

由于(2－3)＋3＝10＞1，故点(2，3)在圆外，

当斜率不存在时，直线方程x＝2满足题意；

当斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x－2)，

即kx－y－2k＋3＝0. ∵直线与圆相切， ∴

22

∴k＝－

.∴4x＋3y－17＝0.∴所求直线方程为x＝2或4x＋3y－17＝0.

4.点P(4，－2)与圆

上任一点连线的中点轨迹方程是(

) 2222A．(x－2)＋(y＋1)＝1

B．(x－2)＋(y＋1)＝4

2222C．(x＋4)＋(y－2)＝4

D．(x＋2)＋(y－1)＝1

解析：选A.设圆上任一点坐标为

，

连线中点坐标为(x，

，y)，则

2

，即

,代入

中

2得(x－2)＋(y＋1)＝1.

5．[2014·陕西卷] 若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

【答案】．x2＋(y－1)2＝1

6.（2010广东理数）已知圆心在x轴上，半径为2的圆C位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆C的方程是 . 【答案】(x5)2y25．解析：设圆心为(a,0)(a0)，则ra5．

|a20|12225，解得

3 圆的方程教案

7.（2010天津文数）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为

。【答案】(x1)2y22

本题主要考查直线的方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。

令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r|103|2，所以圆C的方程为(x1)2y22

2【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。

8.（2010山东理数）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线L：yx1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线L垂直的直线方程为

. 【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：

(|a-1|2)+2=(a-1)2，解得a=3或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐2标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0。

【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。

题型三、求弦长和与弦长有关的综合性问题

1．(2012广东卷)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于(

) A．33

B．23

C.3

D．1 解析：圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离为d＝|－5|2222＝1.∴|AB|＝2r－d＝24－1＝23. 3＋42.（2010四川理数）直线x2y50与圆x2y28相交于A、B两点，则AB . 答案：23解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为22

4 圆的方程教案

圆心到直线x2y50的距离为d＝故|005|1(2)225

|AB|2 得|AB|＝23 222．过原点且倾斜角为60的直线被圆学xy4y0所截得的弦长为

(

) （A）3 （B）2 （C）6 （D）23高.考.资.源.网

22

(2009·陕西)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x＋y－4y＝0所截得的弦长为(

)

A.

B．2

C.

D．2

4.（2011陕西理17）

如图，设P是圆

=25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且

（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为

的直线被C所截线段的长度

解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）

由已知得

,

225xyxy2514∵P在圆上，

∴ ，即C的方程为2516

22

（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为

的直线方程为

，

设直线与C的交点为

Ax1,y1,Bx2,y2

2x3x80

即将直线方程代入C的方程，得

∴

∴ 线段AB的长度为

5 圆的方程教案

5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4. 设M(x，y)，因为

且

,

2

,

2即(x－1)＋(y－3)＝2.

由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)＋(y－3)＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM. 1因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，

318故l的方程为y＝－x＋. 33410又|OM|＝|OP|＝2 2，O到直线l的距离为，

541016故|PM|＝，所以△POM的面积为. 55

高考题赏析

1 ．（2013年江苏卷）本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y2x4,设圆C的半径为1,圆心在l上. y 22(1)若圆心C也在直线yx1上,过点A作圆C的切线,求切A l 线的方程; (2)若圆C上存在点M,使MA2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围. 6 圆的方程教案

O x

y2x4【答案】解:(1)由得圆心C为(3,2),∵圆C的半径为1 yx1∴圆C的方程为:(x3)2(y2)21 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为ykx3,即kxy30 ∴3k2331∴3k1k21∴2k(4k3)0∴k0或者k 4k213∴所求圆C的切线方程为:y3或者yx3即y3或者3x4y120 4(2)解:∵圆C的圆心在在直线l:y2x4上,所以,设圆心C为(a,2a-4) 则圆C的方程为:(xa)2y(2a4)21 又∵MA2MO∴设M为(x,y)则x2(y3)22x2y2整理得:x2(y1)24设为圆D ∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即:圆C和圆D有交点

∴21a2(2a4)(1)21 2由5a28a80得xR

；由5a212a0得0x12终上所述,a的取值范围为:0, 512 5高考题赏析

2．[2014·江苏卷] （16分）如图1-6所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 4m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝. 3(1)求新桥BC的长．

(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

7 圆的方程教案

解：

(1)如图所示，

以O为坐标原点，

OC

所在直线为

x

轴，

建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60), C(170，0)，

4直线

BC

的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－. 33又因为

AB⊥BC, 所以直线AB的斜率kAB＝. 4设点

B

的坐标为(a，b)，

b－0b－6034则kBC＝＝－，

kAB＝＝，

3a－170a－04解得a＝80, b＝120，

所以BC＝（170－80）2＋（0－120）2＝150. 因此新桥BC的长是150 m. 解：(2)设保护区的边界圆M的半径为r m, OM＝d m (0≤d≤60)．

4由条件知，

直线BC的方程为y＝－(x－170)，

3即4x＋3y－680＝0. 由于圆M与直线BC相切，

故点

M(0, d)到直线BC的距离是r，

即r＝|3d

－

680|680－3d＝. 542＋32r－d≥80，因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以

r－（60－d）≥80，680－3d5－d≥80，即

680 －

3d5－（60－d）≥80，解得10≤d≤35. 故当d＝10时，

r

＝680 －

3d最大，

即圆面积最大，

5所以当OM＝10 m时，

圆形保护区的面积最大．

方法二：

8 圆的方程教案

(1)如图所示，

延长

OA, CB

交于点F.

4因为

tan∠FCO＝，

343所以sin∠FCO＝，

cos∠FCO＝. 55因为OA＝60，OC＝170，

680OC850500，

CF＝＝，

从而AF＝OF－OA＝. 33cos∠FCO34因为OA⊥OC, 所以cos∠AFB

＝sin∠FCO＝. 5400又因为

AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝，

从而BC＝CF－BF＝150. 3所以OF＝OC tan∠FCO＝因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆

M与BC的切点为D，连接

MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m (0≤d≤60)．

因为OA⊥OC, 所以sin∠CFO＝cos∠FCO. MD故由(1)知sin∠CFO＝MF＝680－3dMDr3＝＝，

所以r＝. 55OF－OM680－d3因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，

680－3d5－d≥80，r－d≥80，所以即

680－3dr－（60－d）≥80，5－（60－d）≥80，解得10≤d≤35.故当d＝10时，

r＝680 －

3d最大，即圆面积最大，

5所以当OM＝10 m时，

圆形保护区的面积最大．

作业

9 圆的方程教案

1．已知圆C:xy12,直线l:4x3y25.

（1）圆C的圆心到直线l的距离为 ．

(2) 圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 ．

答案：5，221255；

解析：（1）由点到直线的距离公式可得d22643（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即l1:4x3y15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所31求概率为P3. 2.

已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；

(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．

2610 圆的方程教案