三角形中的垂直平分线教学设计(第一课时)

1.3 线段的垂直平分线

【教学目标】

1．知识与技能

证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理. 2．过程与方法

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形

的认识。

3．情感态度与价值观

通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

【教学重点】

运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。

【教学难点】

垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

【教学方法】

讲授法

【课时安排】 2课时

第一课时

【教学目标】

1．知识与技能

能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。

2．过程与方法

经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形。

3．情感态度与价值观

学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

【教学重点】

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。

【教学难点】

明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

【教学过程】

教学过程

第一环节：创设情境，引入新课

教师用多媒体演示：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．

线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的

教学随笔

点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”

第二环节：性质探索与证明

教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．

求证：PA=PB．

分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．

M证明：∵MN⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°

P∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ；

ACB∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．

N教师用多媒体完整演示证明过程． 第三环节：逆向思维，探索判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．

引导学生分析证明过程，有如下四种证法： P证法一：

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．

求证：P点在AB的垂直平分线上．

ACB证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，

∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．

∴AC=BC，

即P点在AB的垂直平分线上．

证法二：取AB的中点C，过PC作直线．

P∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，

12∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．

ACB又∵∠PCA+∠PCB=180°，

∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上．

证法三：过P点作∠APB的角平分线．

∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，

△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

P又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°

12∴P点在线段AB的垂直平分线上．

证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．

AC∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，

B∴P在AB的垂直平分线上．

从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，

我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．

第四环节：巩固应用 在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。

（2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上．因此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。

例题：

已知：如图 1-18，在

△ABC 中，AB = AC，O 是

△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC。．

证明：∵ AB = AC，

∴

点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴

直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。

第五环节：随堂练习

课本P23；习题1.7：第1、2题

第六环节：课堂小结

通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？

第七环节：课后作业

习题l.7 第3、4题

【板书设计】

1.3 线段的垂直平分线（一）

P已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．

求证：P点在AB的垂直平分线上．

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，

ACB∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．

∴AC=BC，

【教学反思】

第二课时

【教学目标】

1．知识与技能

能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。

2．过程与方法

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识。

3．情感态度与价值观

体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性。

【教学重点】

能够证明与线段垂直平分线相关的结论。

【教学难点】

证明三线共点。

【教学过程】

教学过程

一、情景引入

教师提问：“[利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?(教师可用多媒体演示作图过程)”

“三角形三边的垂直平分线交于一点．”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等．”等都是学生可以发现的直观性质。

下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?MA与同伴交流．

教师质疑：“这只是用我们的眼睛观察到的，EQ看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学O过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意P义．”

CB这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有FN关的结论．

上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性。

二、例题解析

（1）教师引导学生分析，寻找证明方法。

我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示．

通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明‘“三线共点’，A只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．”

虽然我们已找到证明“三线共点”的突O破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢? CB师生共析，完成证明

（2）讨论结束后，学生书写证明过程。教师点评，注意几何符号语言的规范性。

已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．

求证：P点在AC的垂直平分线上．

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．

同理PB=PC．

∴PA=PC．

∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．

∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．

进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论?”

（交点P到三角形三个顶点的距离相等．）

教学随笔

（3）多媒体演示我们得出的结论：

定理

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。

由学生思考可得：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图：

已知：三角形的一条边a和这边上的高h 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h A_

AAhhBaDC_

B_

a_

h_D_

( C_

)

BaCD_

1

从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，连接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．（见几何画板课件）

(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．

另外有学生补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．”

（3）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．

（5）例题学习

M已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．

A已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h 作法：1．作BC=a；

2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；

3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

DBC4．连接AB、AC N∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．

（6）做一做：课本第25页：教师引导学生分析作出草图，注意对学生作法叙述的准确性加以更正。

A1_

AA1

四、动手操作

（1）例题：已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P. 学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。

（2）拓展：如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流. 五、随堂练习:：习题1.8第1、2题。

六、课时小结 本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．

七、课后作业

习题1．8第3、4题

【板书设计】

1.3 线段的垂直平分线（二）

定理

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．

【教学反思】