分式的基本性质第二课时教学实录

第五章

分式与分式方程

第一节：认识分式（第1课时）

成都双流中学实验学校

黄艳

一、教学内容分析

本节课的内容选自北师大版教材八年级下册第五章《分式与分式方程》第一节“认识分式”（第一课时）.分式比分数更具一般性，是中学知识体系的重要组成部分.从整数到分数是数的扩充，从整式到分式是式的扩充.分式作为一类重要的代数式，是研究函数、方程、不等式的重要载体.本节课的内容是进一步学习分式性质、运算、解分式方程以及后续学习反比例函数的基础.同时，分式也是某些实际问题的数学模型.因此，分式的内容在中学数学中有着举足轻重的地位.

类比和抽象是本节课的重要思想方法.分数与分式联系紧密，分式是分数的进一步抽象，

是在分数概念基础上进行的更高层次的符号化、形式化，是分数概念一般化的结果.本节课类比分数给出分式的概念，讨论分式有意义的条件，接下来的一节课还需要类比分数讨论分式的约分、通分等变形，因此本节内容也是学生体会数学思想方法的重要载体.

二、学情分析

学生在小学已经学习过分数，能结合具体情境，理解分数的意义，能分别进行简单分数的加、减、乘、除运算及混合运算，能解决分数的简单实际问题，在初中阶段学生已经学过字母表示数、代数式和整式的相关内容，知道代数式是用运算符号将数与字母或字母与字母连接而成的式子，能在具体问题情境中抽象出代数式，能对整式进行分类，明确分类的依据是运算符号；能对整式进行加、减、乘、除运算及混合运算；在学习代数式和整式相关内容时，对整式的分类，分式常以反例的身份出现，学生对分式已有初步的认识，但缺乏系统而又深刻的认识. 三、

北师大版教材，通过实际情境抽象出大量的分式，分式作为实际问题的重要数学模型，有助于帮助学生树立建模思想，培养他们的应用能力，本章自始至终重视分式与实际的联系.基于上面的分析，

1.了解分式的概念，明确分式与整式的区别，会求分式的值；

2.能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号意识；

3.经历观察、归纳、类比的过程，积累数学活动经验，感受从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程.通过分式概念的获得，体会研究代数问题的一般思路.

四、教学重难点

教学重点：

分式概念、分式有意义的条件.

教学难点：

分式有意义的条件和分式的值为零的条件

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五、教学过程：

（一）创设情境，发现问题

问题1：-1、3、5这些是什么数，3a、3a+1他们又是什么？

追问：我们学过的数除了整数以外，还有什么数？由“1212xy”你能想到什么？

问题2：我们学习字母表示数后，我们将“达怎样的实际意义？

”中的具体数换成字母得到，它能表【学生活动】在老师问题的引导下，回忆我们从数到式的学习过程，为接下来的学习获得方法. 【教师活动】教师通过问题串引导学生回顾以前学习整数到整式，以此类比借助分数我们可以得到一系列新的代数式，并且这样带代数式在我们生活中大量存在；

【设计意图】从整数到整式，我们学习整式的时候，我们大量的类比了整数的学习，本章研究分式我们也会类比分数的学习，通过问题1，为学生学习本章的学法做铺垫；分数是小学阶段学习较为抽象的概念，能反映出我们实际生活中某些量与量之间的关系，是实际21生活中一个重要的模型；将数换乘字母，从特殊到一般，y也能反映我们实际生活中量与量之间的关系，也是实际生活中的一个模型；通过这一过程让学生感知认识分式的必要性，明白“为什么”要认识分式. 问题3：我校开展了走进彭镇种植基地的活动，往年某班同学对青椒生长情况进行了深入探究，并设计了对比试验，在同样大小的甲、乙两块土地上分别种a株青椒和b株青椒. （1）在种植过程中两块地一共施肥5千克，则平均每一株青椒的施肥量是

千克；

（2）在收获季节，甲地收获了m千克青椒，乙地收获了n千克青椒，则平均每一株青椒的产量是

千克；

（3）同学将收获的青椒拿到市场出售，先以原价x元/千克卖出一部分之后，剩下的全部降价2元/千克售完，降价部分的销售额为y元，则降价卖出的青椒共

千克；

（4）实践完后整理，发现：甲地每株青椒的纯利润为5元，乙地每株青椒的纯利润为7元，则两块地里平均每株的纯利润为

元. 【学生活动】学生独立思考，得出答案. 【教师总结】组织学生交流，并追问答案是如何得出的. 【设计意图】以学生刚刚经历的“走进彭镇种植基地”这一活动为背景设计问题，使问题贴近学生生活，从而让学生体会数学源于生活，在解决这一系列问题时，学生列出了一些代数式但它们有别于我们以前学习过的整式，这样使得学生在认知上有所冲突，他们是什么，第

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x

为什么这样的式子在我们生活处处都有，从而激发学生的学习兴趣，出现这一系列的代数式，也为学生归纳总结分式的概念提供可分析研究的对象. （二）探究新知，解决问题

问题4：这些式子是整式吗？与整式有什么区别？有什么不同的特征？

追问：从运算角度来看分子与分母都是整数，他可以看成整数与整数的除法运算结果21的表示形式，与此对比分式又可以看出什么呢？

【学生活动】通过教师问题的引导，观察、对比得出分式的特征，从而形成分式的概念. 【教师活动】借助问题促使学生从多角度归纳总结分式的特征，学生从形式上概括相对容易，但从式子结构运算上归纳总结出分式的特征，有一定难度，类比分数.

【设计意图】通过类比和四个问题的引导，让学生自主归纳出分式的定义，从形式上和结构上把握分式的特征，通过追问让学生从分式的本质上有所认识，分式实质上是两个整式除法的结果，而且除式要含字母. 问题5：分式是代数式吗？我们的代数式包含什么？

代数式的分类：

【设计意图】代数式包含整式和分式，通过对分式的认识，我们对代数式有了全面的认识，在此及时归纳总结，将学生零散的知识点系统化，这样也有助于对分式更深刻的认识，以及分式的学习. 问题6：例1.下列代数式哪些是分式，哪些是整式? （1）14x；

（2）5xyy；

（3）amn；

（4）；

（5）yx2；

（6）12ab；

（7）abc；

（8）12xyxy2；

整式：

；

分式：

. 【学生活动】学生先独立判断，再通过游戏环节让学生展示其判断结果. 【教师活动】组织学生游戏，并对典型例进行分析. 【设计意图】通过对代数式的分类，整式与分式对比，加强学生对分式概念的理解与认识，（4）、（6）、（8）这三个式子有分母但没有字母（是一个字母但它表示一个特定的数，它是已知数），学生容易将其判断为分式，借此再次强加分式分母中必须含有字母；（2）学生可能通过因式分解后约分，从而判断这两个为整式，借此引导学生从定义入手判断是否为第

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分式.学生独立完成后，再通过游戏环节展示，激发学生学习兴趣. 问题7：在引例(3)青椒的单价与总重量和总钱数之间的关系用分式yx2表示，反过来x2yy的实际意义是否只表示这个问题中的数量关系？你能否借助生活实际为x2赋予另外的实际含义？

【学生活动】小组合作，将自己所想到的实际情境与小组内同学分享交流. 【教师活动】巡视学生间交流，组织部分学生在全班内交流，对学生的表述给与及时评价与反馈. 【设计意图】引导学生通过对“实际问题中的数量关系有时是用一个分式表示”，反过来“一个分式表示的实际意义不止一种”的研究，进一步感悟分式是刻画现实世界中数量关系的重要模型，体会学习分式的价值. （三）知识应用，巩固提升

问题8：例2.对分式能确定吗？

当x=10，y=51时，当x=9，y=48时，yx2=yx2而言，x、y的值没有确定，如果知道x、y的值，分式的值

；

yx2y=

；

当x=8，y=45时，x2=

；……

这里x、y能取任意数吗？

【设计意图】分式的值是随分式中字母取值变化而变化，对分式中每一组字母的取值都能确定一个具体的数，让学生学会根据字母的取值确定分式的值，在设计数据时，让分式的值都是分数，一个分式能表达一系列分数，让学生再次感受分式比分数根据有一般意义，随着取值的不同可能会导致分式分母为零，这就是分式无意义，是学生明确求分式的值是在分式有意义的前提下进行；结合具体实际情境让学生分析分母为零时所表达的实际意义，让学生认识分母为零在现实生活中也是无意义的. 2问题9：例3.（1）当m

时，分式74m有意义；

（2）当a

时，分式变式:

1：当aa21a1a2有意义；

无意义；

时，分式;

x21a1

变式2：当x为何值时下列式子的值为零

①x4x2②4x2.

【设计意图】求字母所满足的条件时，在这一系列问题的解决过程中让学生理解分式有意义的条件，在变式练习中设计分式的值为零，这类问题，让学生明白分式的值为零必要条件是分式有意义. 第

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问题10：变式3：请写出满足条件的一个分式：

（1）使其当x=5时，分式的值为0（2）使其分子是x3

，且当x【设计意图】学生根据分式有意义、无意义、分式的值为零等条件能够求出相应字母满足的条件，这个例题逆向考查分母有意义的条件，学生需要考虑分子、分母必须满足怎样的条件，自主构建新的代数式，增加了思维的含量，把学生放在主导地位，答案具有开放性.激起学生的思维火花. （四）反思评价，建构新知

本节课我们学习了哪些知识？

这些知识是怎样学到的？

你在学习过程中运用了哪些方法？

在今后的学习中你还想学习哪些知识？

【设计意图】对所学知识和方法进行归纳总结是学生从学会到会学的必经之路，教学中有目的地引导学生从知识和方法角度总结归纳，使学生有意识的回顾研究问题的路径，积累数学活动经验，学会用数学的方法思考研究问题.

【设计意图】教师在学生归纳总结的基础上，结合本节课“类比”这一重要的数学思想，在此对本章教学内容进行展望，对学生本章内容的学习方法进行指导，便于学生对本章内容有一个整体把控，也便于学生积极主动的自主学习. （五）拓展延伸，创新实践

已知分式mn1mn的值是a，如果用m，n的相反数代入这个分式所得的值是b，问a与b的关系是否能确定？若能确定，求出它们的关系，若不能确定，请说明理由．

【设计意图】分式的值随着分式中字母取值变化而变化，在变化的过程中存在着一些不变量、特殊的关系，如何去寻找发现这些特殊的关系，字母的取值可以用字母来表示便于探究，这有助于培养学生观察式子结构特征的能力，也为后面分式的运算做铺垫. （六）布置作业

1.完成习题5.1第2、3、4、5题；

2.类比小学分数学习内容，设计对分式研究的方向；类比分数的相关知识，梳理你能得到哪些与分式相关的知识. 【设计意图】第一类作业目的在于基础知识的巩固，第二类作业在于本节课学法迁移.从知识和方法上对本节课所学进行巩固，也鼓励学生自主建构自主学习新内容.

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