直角三角形的性质与判定教案2

第1章

三角形的证明

2

直角三角形

第2课时

直角三角形全等的判定

课题

第2课时

直角三角形全等的判定

知识技能

数学思考

授课人

1.熟练掌握“HL”定理．

2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形.

通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系.

1.掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”(HL)定理，并运用“斜边、直角边”(HL)定理解决问题，体会证明的必要性．

2．根据条件熟练进行尺规作图.

在探究性教学活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神.

教

学

目

标

问题解决

情感态度

教学重点

教学难点

授课类型

教具

掌握判定直角三角形全等的条件；并能运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题.

证明“斜边、直角边”(HL)定理的思路的探究和分析.

新授课

课时

课件、三角尺

教学活动

教学步骤

师生活动

问题1：判定两个三角形全等的方法有哪几种？

问题2：如图1－2－30，已知∠CAB＝∠DBA，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请说明理由．

设计意图

回顾

图1－2－30 问题3：如图1－2－30，若添加条件AD＝BC，这种方法是否能证明△ACB和△BDA全等？

本活动具有开放性，需要学生灵活运用所学的知识，通过互相交流，获得各种不同的答案. （续表）

活动

一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

在上面的“回顾”中，如果∠CAB＝∠DBA＝90°，那么再添加条件AD＝BC，是否能证明△ACB和△BDA全等呢？

鼓励学生展示不同的解决方案，同时开放性问题也有利于培养学生的质疑能力和创新精神. 【探究一】

做一做(小组合作完成) 1．如图1－2－31，已知线段a，c(a＜c)，直角α.

求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.

活动

二：

实践

探究

交流

新知

小组间合作互助进图1－2－31 行作图，注意培养学2．小组完成后，让学生比较作出的三角形是否全等．

生的观察、比较、交3．由此你是否能发现判定直角三角形全等的一种“特有”流等能力．

方法？请尝试用规范的数学语言概括你的发现，并证明它

的正确性．

【探究二】

证明定理

证明命题：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形

全等．(课件展示)

1．分析该命题的条件和结论：

这个命题的条件是________，结论是________．

2．先画出图形，再依据图形用符号语言写出“已知”“求本环节通过对(HL)证”．

定理的证明，体会文已知：如图1－2－，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′字、图形、符号的转＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′.

换方法以及把命题求证：△ABC≌△A′B′C′.

的文字语言转化成几何图形和符号语言的重要性，发展了

图1－2－32 证明：在△ABC中，∵∠C＝90°，

∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．

同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2.

∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，

∴BC＝B′C′.

∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．

学生的推理能力和有条理的表达能力，在这一过程中进一步感受证明的重要性.

定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL)．

符号表示：

如图1－2－32，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，

∵AC＝A′C′，AB＝A′B′(已知)，

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 【应用举例】

例1

如图1－2－33，两个长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．

通过举例着重强调“HL”这一特定的判定方法仅仅适用于判定两直角三角形全等，同时指明证明两三角形全等往往并非目的，重在

图1－2－33 【拓展提升】

例2

如图1－2－34，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC上一点，AB＝AD. 求证：EB＝ED. 用全等三角形的性质. 活动

三：

开放

训练

体现

应用

活动

三：

开放

训练

体现

应用

巩固强化“斜边、直图1－2－34 角边(HL)”这一特例3

如图1－2－35，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点定的判定方法在解A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E. 决具体问题中的运(1)若点B，C在DE的同侧(如图1－2－35①)，且AD＝CE，用. 求证：BA⊥AC；

(2)若点B，C在DE的两侧(如图②)，且AD＝CE，问AB与AC仍垂直吗？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

图1－2－35

【当堂训练】

1．如图1－2－36，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则直接判定△AEO≌△AFO的依据是(

) A．HL

B．AAS

C．SSS

D．ASA

图1－2－36 2.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是(

) A．两条直角边对应相等

B．有两条边对应相等

C．一条边和一锐角对应相等

D．一条边和一个角对应相等

3．如图1－2－37，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.其中正确的结论是________．(将你认为正确的结论序号都填上) 活动

四：

课堂

总结

反思

在练习时放手让学生去思考、独立完成，并且展示多种方法，有利于培养学生学习的主动性和发散思维.

图1－2－37 4．如图1－2－38，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD.求证：BE⊥AC.

图1－2－38

【板书设计】

第2课时

直角三角形全等的判定

合作探究

命题：两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．

证明：

定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL)．

证明：

巩固训练

例1：

例2：

例3：

提纲挈领，重点突出. 【教学反思】

①[授课流程反思] 本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解. ②[讲授效果反思] 在教学过程中，让学生充分体验到试验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理

能力. ③[师生互动反思] 新课程标准强调“从具体的情景或前提出发进行合情推理，从单纯的几何推理价值转向更全面的几何的教育价值”，为了体现这一理念，让学生在不同的情景中探求新知，用直接感受去理解和把握空间关系．极大地激发了他们的学习欲望，加深了师生互动的力度，课堂效益比较明显. ④[习题反思] 好题题号

错题题号

反思，更进一步提升.