等腰三角形的判定与反证法公开课教案

课题

等腰三角形（3）

教学目标

(一)教学知识点

1．经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．

2．经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程．

(二)能力训练要求

1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的实践能力和创新精神．

(三)情感与价值观要求

1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重点

1．等边三角形判定定理的发现与证明．

2．含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．

教学难点

1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．

2．引导学生全面、周到地思考问题．

教学方法：探索——发现

教学过程

一、提问问题，引入新课

我们在前两节课研究并证明了等腰三角形的性质和判定定理．我们知

道等腰三角形中包含有一种非常特殊的三角形即等边三角形，它的性质我们已通过等腰三角形作了证明．例如等边三角形的三个内角都是60°等．我们来看下面的问题

(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？

(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．

(教师应给学生自主探索、思考的时间)

二、讲述新课

1．探索等腰三角形成为等边三角形的条件．

等腰三角形已经有两边分别相等，所以只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．

等腰三角形中有一个角是60°，这个角可能是顶角，也有可能是底角。所以要分情况讨论，这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法

由讨论得出结论：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

在证明这个定理的过程中，还得出一个三角形为等边三角形的条件，

三个角都相等的三角形是等边三角形．

[师生共析]已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C．

求证：△ABC是等边三角形．

证明：∵A＝∠B，∴BC＝AC(等角对等边)．

又∵∠A＝∠C，∴BC＝AB(等角对等边)．

∴AB＝BC＝CA，即△ABC是等边三角形．

我们以公理和已证明的定理为基础，研究并证明了等腰三角形(包含等边三角形)的性质和判定，可列表总结一下．

性质

等边对等角

等腰三角

判定的条件

等角对等边

“三线合一”即等腰三角有一角是60°的等腰三角形顶角平分线，底边上的形是等边三角形

中线、高互相重合

等边三角形的三个角都相三个角都相等的三角形是等，且每个角都是60°

做一做

用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？

(让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明)

用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．

图1是等边三角形，图2是等腰三角形

由图1可得：在直角三角形中，30°的角所对直角边是斜边的一半．

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°．

求证：BC＝1AB．

2形(含等边三角形) 等边三角形

分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD＝BC，连接AD．

证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，则∠B＝60°．延长BC至D，使CD＝BC，连接AD(如图所示)．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°．

∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等)．∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC＝11BD＝AB．

22[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

已知：在△ABC中，AB＝AC＝2a，∠ABC＝∠ACB＝15°，CD是腰AB上的高．求：CD的长．

分析：观察图形可以发现在Rt△ADC中，AC＝2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝2×15°＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD=a．

试一试

命题“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它．

[师生共析]我们可从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的辅助线的作法中得到启示．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝求证：∠BAC＝30°．

1AB．

2

证明：延长BC至D，使CD＝BC，连接AD．

∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°．又∵AC＝AC，

∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB＝AD．

∵CD＝BC，∴BC＝11BD．又∵BC＝AB，∴AB＝BD．

22∴AB＝AD＝BD，即△ABD是等边三角形．

∴∠B＝60°．在Rt△ABC中，∠BAC＝30°．

三、课时小结

这节课，我们自主探索，思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类的思想方法．接着在公理和已证明的定理的启发下推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系，这节课我们学的都是非常重要的定理，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．

四、课后作业

习题1．3第1、2、3、4题

板书设计

等腰三角形(3) [问题1]一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？

等腰三角形三角形等边三角形

等边三角形

[问题2]在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的关系？

从两个含30°角的三角尺，拼出图形寻找结论．

课后反思：