等边三角形的判定优质课一等奖

12．3．2 等边三角形（一）

教学目标

（一）教学知识点

经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．

（二）能力训练要求

1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

（三）情感与价值观要求

1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重点

等边三角形判定定理的发现与证明．

教学难点

1．等边三角形判定定理的发现与证明．

2．引导学生全面、周到地思考问题．

教学方法

探索发现法．

教具准备

多媒体课件，投影仪．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个问题．

- 1 -

（演示课件）

1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？

2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．

（教师应给学生自主探索、思考的时间）

[生甲]由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于60°．

[生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了．

[生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°，我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了．

（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，•教师可让同学代表发表自己的看法）

[生丁]我不同意这个同学的看法，•因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，•我觉得他给的条件太多，浪费! [师]给三个角都是60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？•下面同学们可以在小组内交流自己的看法．

Ⅱ．导入新课

探索等腰三角形成等边三角形的条件．

[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．

[师]你能给大家陈述一下理由吗？

[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60•°，•等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的，•所以每个- 2 -

底角分别是120°÷2=60°，则三个内角分别相等，根据等角对等边，•则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．

[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质．

[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：•在等腰三角形中，•不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形．•你能用更简洁的语言描述这个结论吗？

[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）

[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？

[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．

[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，•我们鼓掌表示对他们的鼓励．

今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？

[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．

[师]下面就请同学们来证明这个结论．

（投影仪演示学生证明过程）

已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．

- 3 - ABC

求证：△ABC是等边三角形．

证明：∵∠A=∠B，

∴BC=AC（等角对等边）．

又∵∠A=∠C，

∴BC=AC（等角对等边）．

∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．

[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到．

（演示课件）

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

三个角都相等的三角形是等边三角形．

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理．

（演示课件）

[例4]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m，•他们便得出一个结论：A、B之间距离不少于200m，他们的结论对吗？

分析：我们从该问题中抽象出△APB，由已知条件∠APB=60°且AP=BP，•由本节课探究结论知△APB为等边三角形．

解：在△APB中，AP=BP，∠APB=60°，

所以∠PAB=∠PBA=11（180°-∠APB）=（180°-60°）=60°．

22AB60P 于是∠PAB=∠PBA=∠APB．

从而△APB为等边三角形，AB的长是200m，•由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P54练习 1、2．

1．等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？

- 4 -

答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）．

2．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD相等的线段？

AEBFDC

答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF．

（二）补充练习

如图，△ABC是等边三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD、CD•的垂直平分线分别交BC于E、F，求证：BE=CF．

AD2B1EFC

证明：连结DE、DF，则BE=DE，DF=CF．

由△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°．

同理∠DFE=60°，

故△DEF是等边三角形．

DE=DF，

因而BE=CF．

Ⅳ．课时小结

- 5 -

这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，•并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P56─5、6、7、10题．

（二）预习P55～P56．

Ⅵ．活动与探究

探究：如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE．△ADE是等边三角形吗？试说明理由．

过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定．

结果：

已知：三角形ABC为等边三角形．D、E为边AB、AC上两点，且AD=AE．判断△ADE•是否是等边三角形，并说明理由．

解：△ADE是等边三角形，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=60°．

又∵AD=AE，

∴△ADE是等腰三角形．

∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

板书设计

§12．3．2 等边三角形（一）

一、探索等边三角形的性质及判定

问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形

二、等边三角形的性质及判定

三、应用例题讲解

四、随堂练习

- 6 - ADBEC

五、课时小结

六、课后作业

备课资料

等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定．

性质

等边对等角

判定的条件

等角对等边

等腰三角 “三线合一”即等腰三角形顶角有一角是60°的等腰三角形形（含等 平分线，底边上的中线、高互相是等边三角形

边三角形）

重合

等边三角形的三个角都相等，且三个角都相等的三角形是等边每个角都是60°

参考例题

1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．

解：在△ABC中，

∵AB=AC（已知），

∴∠B=∠C（等边对等角）．

∴∠B=∠C=1（180°-∠BAC）=40°（三角形内角和定理）．

2BDCA三角形

又∵AD⊥BC（已知），

∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）．

∴∠BAD=∠CAD=50°．

2．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．

求证：DB=DE．

证明：∵△ABC是等边三角形，且BD是中线，

∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∠DBC=30°．

- 7 - ADBCE

又∵CD=CE，

∴∠CDE=∠E=1∠ACB=30°．

2A ∴∠DBC=∠E．

∴DB=DE．

3．已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E．

求证：△ADE是等边三角形．

证明：∵△ABC是等边三角形（已知），

∴∠A=∠B=∠C（等边三角形各角相等）．

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．

∴∠A=∠ADE=∠AED．

BDEC ∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．

- 8 -