3.1.1 空间向量及其线性运算公开课教案（教学设计）

第三章一节

空间向量及其加减运算

设计者：钟艳 设计时间：2017年10月

一、教材分析

“空间向量及其加减运算”是苏教2003课标版高中数学教材选修2-1中的第三章第一节的内容，教学需要一个课时，本节课是本章的起始课，本节课在学生学习完《圆锥曲线与方程》之后，借用学生平面向量和其在平面几何中的应用的知识，对空间中的向量进行刻画，对向量的数乘，数量积，坐标运算，特别是立体几何中的向量方法提供了类比学习方法，为必修3第六章的立体几何中解决平行、垂直、距离、夹角等问题提供代数的方法。因此，本节课有承上启下的作用。同时对加深学生对向量的代数和几何性质的认识，发展学生的数形结合等思想能力具有重要意义。学生已经在必修3第七章解析几何初步（直线和圆的相关知识）和选修2-1圆锥曲线与方程中体验了将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题；分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题的过程，体会了“数形结合”的思想方法。但是这些都是建立在平面直角坐标系内讨论的，向量可以解决平行，垂直，距离及夹角等问题也是在平面内进行，而必修3的第六章中学习了立体几何初步，已经将二维空间上升为了三维空间，也有平行，垂直，距离及夹角的相关应用，怎样用空间向量来解决上述问题，是本章学习的重要意义。而在必修3中已经学习了空间直角坐标系，因此进一步在空间直角坐标系中去用向量的坐标解决几何问题，体现代数方法的优越性，是学生学习本节课的内在动机，也是启发引导学生探究新知识的切入点。

教材首先提出的提钢板和正方体中不共面向量的基础上，类比平面向量对空间向量进行定义，找到空间向量的表示、相同或相等关系、加减运算及其运算律等内容。最后通过探究来训练学生进一步结合平行六面体，数形结合，理解空间向量运算加法交换律和结合律。作为起始课，需要联系前面的知识和背景，因此先通过类比的方法引入空间向量的概念、表示、相同或相等关系、加减运算及其运算律等内容。然后借助运算规律的重点研究为后面的内容空间向量的数乘运算、空间向量的平行（共线）定理提供前提和铺垫，尤其是后面理科利用空间向量来解决立体几何中的平行、垂直、距离和夹角问题。最后通过拓展揭示空间向量在以后的学习中所处的重要地位和作用。

空间向量是解决立体几何问题至关重要的方法，也是高考必考的考点，虽然高中立体几何的学习中并不一定要用空间向量解决立体几何中的平行、垂直、距离和夹角

问题，但教材的意图是让学生学会类比迁移的方式学习空间向量，以便学生能够灵活运用不同方法解决立体几何打下基础，因此教学中要注意让学生感受空间向量的知识的类比形成。

二、学情分析：

从知识基础的角度看，学生在《必修3》已经学习立体几何初步以及在《必修2》学***面向量的相关知识，也在解析几何中学习了用代数方法解决几何问题的方法，这为学生学习本章打下了必备基础。由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，类比平面向量及其运算进而得到空间向量及其运算是必不可少的措施。

高二上的学生具有一定的综合联系能力，也具备了常规的学习数学的基本思想，如转化与化归、数形结合的思想等，这为本节课的顺利开展提供了有利条件。

三、教学目标：

1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法；掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律。

2.通过类比平面向量的相关知识得到空间向量的概念、表示，让学生体会类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力，空间想象能力，及空间向量的应用意识。

3.在教学过程中通过空间向量产生的背景、学习方法及应用，让学生理解空间向量学习的意义，知道如何学好空间向量知识,了解空间向量在未来知识发展中的作用。

教学重点：空间向量的概念及其加减法。

教学难点：空间向量的加法交换律和结合律的证明。

四、难点突破策略分析

本节课的难点是空间向量的加减法交换律和结合律的推导，应多引导学生与平面向量及其运算作类比，引导学生思考向量运算与通常的实数运算有什么差异性，与平面向量的运算有什么联系和区别，从“数、量与运算”发展的角度理解向量。注意让学生经历向量由平面向空间推广的过程，让学生体会类比与归纳的数学思想方法，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的异同性，关注在这一过程中思维难度增加所带来的影响。

五、教学方法：问题探究，合作讨论、启发诱导

六、教具准备：多媒体，直尺

七、教学过程：

教学环节

导入示标：

导入示标的目教师提的在于明确向问，学生思考，量的概念在过揭示主题。

提起面板，面板多重？，去知识（平面向量）中的出现并应用过，介绍空间向量在立体几何中的重要地位，同时揭示今天的主题。

教

学

过

程

师

生

活

动

设

计

意

图

创

（1）一个50N的力提起面板，面板多重？这个力在数

学中叫什么？

设

情

（2）两个50N的力，夹角为使用了向量的什么知识？

境

（3）如果三个50N的力提起面板，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角为，还能用刚才的方法去计算面板重吗？ 师：为什么不能？

生：三个向量不在同一平面上

师:解决这个有关向量的问题需要在空间中去研究。

揭示主题：这就是本章我们要学习的知识——空间向量及其运算。

教师：刚刚同学们发现如果用这三个力提起面板，研究向量已经从平面走向空间，此时的向量叫空间向量，空间向量问题是生活中常见的问题，比如：请同学们翻到本书81页后面的一页，在本章章头图中，（给出ppt）不管是设计卢浮宫前的玻璃幕墙的钢架，还是塔吊、过山车、桥梁的钢架，都会遇到立体几何的问题，而这些立体几何问题又都与空间向量有着密切的联系。那么要解决这些问题我们必须掌握空间向量的知识。（这里可以收集图片展示）

空间向量的知识的学习方法是什么呢？

我们先来思考一下刚才的问题，在必修4中其实我们已

经学***面向量的知识。现在要研究三个（空间向

量）力提起钢板的大小，你的思考方法是什么？

生：两个相加然后结果和第三个相加。

师:刚才大家借用了平面向量的加法来解决空间向量的

加法问题，这就是空间向量的学习方法：类比联系平面

向量知识。

那现在来回忆一下平面向量的知识。

学做思一：我们学***面向量的哪些知识？ 教师巡视，发

现学生的问

题，协助学生学做思一的目学生：在必修4中，我们学***面向量的概念、表示、解决问题，观的在于：让学生回忆旧知识，让学生体探

运算法则、在平面几何中的应用(垂直、平行、长度和察

究

新

知

夹角)。

请填空：

内容

1.向量概念：

2.画法：

3.表示方式：

4零向量：

5.单位向量：

6.相反向量：

7.相等向量

学生的思维活会新知识的生动。

成过程是由旧学生独立思知识而来的，考，合作，探同时找到新旧究，交流，讨知识的共同论，展示分享。

点，形成数学

知识的连贯性和网络。

教师：那我们在空间向量中，你们觉得应该进行哪些方

面的学习？

教师辅助学生

学生：我们也应该学习空间向量的概念、表示、运算法完成平面向量

则、在立体几何中的应用。

和空间向量概

学做思二：你能用类比平面向量的知识得出空间向量念的类比，让学做思二的目的知识吗？

学生体会类比的在于：

学生：能。

内容

概

念

平面向量

1.向量概念：在平面中，既有大小又有方向的量叫向量；

2.画法：用有向线段AB画出来；

3.表示方式：AB或a（用小写的字母表示）；

4零向量：在平面中，长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的；

5.单位向量：在平面中，模为1的向量称为单位向量；

6.相反向量：在平面中，长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量；

7.相等向量：在平面中，方向相同且模相等的向量称为相等向量；

空间向量

1.向量概念：在空间中，既有大小又有方向的量叫向量；

2.画法：用有向线段AB画出来；

3.表示方式：AB或a（用小写的字母表示）；

4零向量：在空间中，长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的；

5.单位向量：在空间中，模为1的向量称为单位向量；

6.相反向量：在空间中，长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量；

7.相等向量：在空间中，方向相同且模相等的向量称为相等向量；

的过程，并得让学生通过类到空间向量的比得到空间向相关的概念和量的相关概知识。

念，表示及加减法，体会其中的类比思想。

学生类比回

答，教师指导

纠正

给出知识结构

内容

加法法则

平面向量

空间向量

记为ab，在平面中，记为ab，在空间中，首尾连接的向量，和向量为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（注意展示几何意义的图形及解释）

首尾连接的向量，和向量为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（注意展示几何意义的图形及解释）

减法法则

记为ab，在平面中，记为ab，在空间中，同起点的两个向量，差向同起点的两个向量，差向量连接两个向量的终点，量连接两个向量的终点，并且指向被减向量。

并且指向被减向量。

教师：同学们类比的很好，和本章的学习结构接近，本章的结构图如下：

展示本章知识图为了学生了

结构，明确本解本章知识，章学习任务。

为本章的学习

师：为什么我们可以类比平面向量得到空间向量的性质呢？

生：……. 师点评：因为向量的本质是具有大小和方向的量，空间向量、平面向量本质是一样的，同时任何两个空间向量总是可以移到同一个平面上的，因此空间向量问题包含平面向量问题，空间向量问题可以转化为平面问题来研究。

教师：下面我们来用空间向量的运算律来说明。

学做思三：在平面向量的加减法中，我们学习过哪些运算律？那这些运算律在空间向量也成立么？

学生：交换律和结合律。

教师：在平面向量中的加法交换律和结合律是怎样的？

学生回忆。

师：那这些运算律在空间向量也成立么？

教师用图形展示在空间中也成立及为什么成立。

有一个清晰的思路，并揭示本课的地位。

学做思三的目学生独立思的在于：

考，交流，展1.应用类比的示。

思想引导学生由平面向量的交换律和结合教师引导发律得到空间向现，解决学生量的加法交换问题。

律和结合律。

2.体现平面向量和空间向量的相同点和不

平面向量和空间向量的知识有哪些相同和不同呢？

相同点：概念，表示，运算律的定义方式是一样的，而且加减法都是满足平行四边形法则，三角形法则。

不同点：平面向量是平面的，是二维的量，空间向量是空间的，是三维的量。而且空间向量在加法和加法的运算律，以及减法法则都是在空间进行的。

同点。

例1的目的在于：

教师启发诱导1.让学生熟练学生发现新的运用空间向量结论。

的加法和减法，找到表示的空间向量，能用已知的空间向量表示未例1已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）

ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标

知的空间。

出化简结果的向量：

学生思考，交2.体现空间向流，展示。

教师指导。

量与立体几何关系，为后面知识作铺垫。

学做思四的目的在于：

1.回扣引入；

2.体现空间向

⑵ABADAA'；

⑴ABBC；练习：在上题中用

表示，，。

学做思四：现在你能用运算律解决三个力提起钢板的

大小吗？可以借助图形来解决吗？

学生：可以在一个平行六面体中解决

学生思考，交量与立体几何流，展示。

的联系；

教师指导。

反思：类比平面向量和刚才的问题，你认为在高中阶段，空间向量要解决的题型有哪些？使用的思想方法是什么？

生：模长（距离）问题、角问题、平行垂直证明问题。

思想：几何代数互化的解析法思想、转化思想。

师:这是立体几何中高考的要求，也是我们高中阶段学习空间向量的重要目的。

现在请大家对本堂课的内容进行小结：

课堂小结

3.让学有余力的学生得到充分的训练和发展。

学生：学习了空间向量的相让学生对整堂课由一个全面表示，系统的认识，

1、这节课你学习了哪些内容？（包括知识、思想、方关概念，课法）

堂

小

结

2、你还有什么困惑？

加减运算，交换律和结合律。

学生：我们采取了平面向量的定义，表示，运算类比得到了空间向量的定义，表示和运算，体现了新旧知识的联系，类比的数学思想

教师补充

作作业：P106

A组

1、2题. 请同学们在网页上去查阅在各个方面中的应用和推广. 业参考网址。

设计意图：

1.反馈教学目标达成情况；

建构空间向量的知识网络，形成一个总结反思的能力。

布参考网址：

1.http://www.docin.com/p-355700838.html 置

2.

http://epub.cnki.net/kns/brief/default_result.aspx

3.http://epub.cnki.net/kns/detail/detail.aspx?QueryID=6&CurRec=5&recid=&FileName=XXZY201007079&DbName=CJFDN0911&DbCode=CJFQ&pr=CJFU2010; 2.再次体现空间向量的加减法运算；

3.培养学生利用不同渠道去了解和学习数学知识，拓展学生的知识面，丰富学生的精神世界。

空间向量及其加减运算

例1：

平面向量的知识

空间向量的知识

练习：

三角形法则

平行四边形法则

板书设计

本节课上过之后，我的体会如下：

1.本节课的编排从向量在物理中应用继而得到空间向量，从学生已经熟悉的平面向量的概念，表示，加减运算，加法的交换律和结合和类比得到空间向量的概念，表示，加减运算，加法的交换律和结合律，充分展示类比的数学思想在解决数学新知识中重要

学做思四：

课

作用。通过复习物理知识的应用来引入课题，让学生了解到知识的连通性；通过对新旧

知识的对比和对空间向量加法的交换律和结合律的探讨，让学生体会到平面向量和空间后

向量的区别和联系；通过书中例题的解决让学生体会在立体几何和平面向量的关系，让

反

学生建构空间向量的知识网络，形成总结反思的能力。

2.本节课是本章的起始课，在课堂中注意让学生了解本章的知识脉络，理解学习本章知识对以前的学习和以后的学习的意义，让学生明白“为什么学习空间向量，学了对思

以后的学习和生活有什么影响”，充分展示了章起始课的作用和地位。

3.本堂课用问题引导，让学生合作，探究，思考，通过小组合作交流讨论，让学生在“做中学，思中学”，课堂气氛非常活跃，不仅培养了学生合作交流的意识，还强化了学生的主体地位，充分体现了“以人为本”的课改理念，让学生在在快乐、探究中顺利达成教学目的。

4.本节课也有一定的不足，就是知识容量较大，个别薄弱学生跟不上，需要在课后

单独辅导。课堂开放之后，对教师的挑战很大，应该引导到什么程度有时候还把握不到位，这是我在这节课中存在的问题。

我以后要多学习，用高标准来要求自己。

最后，我还很年轻，经验还不够丰富，提升的空间还很大，还需要多多学习，希望各位前辈，同仁指导批评。

空间向量知识在中学有着非常重要的地位和教育价值，它的工具性特点在数学的许多分支中都有体现，它还对同学们以后的学习奠定了基础，能够解决高等师范院校数学课专业的基础课程《高等几何》、《初等几何研究》、《空间解析几何》和《初等代数研究》外中的许多问题，在解决的过程中空间向量的思想渗透的很广泛！它不仅只在数学中解决延几何问题有广泛的运用，在物理学，工程科学，地理学等方面也有着广泛的应用。在中伸学的学习中，空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的。它阅可以培养我们的空间建构能力，还可以让我们体会类比的数学思想。有兴趣的同学可以读

下去查阅一下相关的资料。