2.2.1 椭圆的标准方程教案3

椭圆的标准方程

苏教版高中《数学》选修2—1第二章第2.2.1节

一、教学目标

1.知识目标：

(1)通过建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程. (2)能用标准方程判定曲线是否是椭圆. (3)在已有经验的基础上，进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想. 2.能力目标: 让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，通过自我探究、操作提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。

3.情感目标: 在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。实现教学相长的教学情境，在问题解决过程中，培养学生团结协作和锲而不舍的钻研精神，感悟数学的图形美和对称美。

二、教学重点、难点：

1.教学重点:(1)感受建立曲线方程的基本步骤；

(2)掌握椭圆的标准方程及其应用. 2.教学难点：椭圆标准方程的建立和推导

三、教学方法与教学手段

1．教学方法:采用观察发现、探究合作、启发引导、讲练结合

2. 教学手段:多媒体课件

四、教学过程设计

1.问题情境

（1）观察生活中的椭圆形物件图片和“神舟”六号飞船的运行录像

通过实际背景，揭示知识产生的根源，感受椭圆广泛存在于现实生活中，进而由“如何精确设计椭圆形物件？”提出研究课题：怎样建立椭圆的方程？这样让学生体会到数学来源于生活。从而激起了学生进一步学习新知的欲望，调动了学生的学习动机与积极性。

（2）复习椭圆的定义

通过复习，培育和预热学习本课内容的“最近发展区”，为本节课推导椭圆的方程作准备。

2.学生活动

（1）回忆在必修2中是如何求圆的方程的

以学生熟悉的直线与圆的方程的研究为知识的生长点，通过复习已有知识，使学生类比探索，利用认知迁移规律，促使其主动再发现、再创造，构建起新的认知结构，从而认识到求曲线方程的实质为：寻求曲线上任意一点的横纵坐标满足的关系式。

（2）讨论建立平面直角坐标系的方案

让学生从自身具有的知识和经验出发，主动去作探究，变由教师单一灌输的传统做法为以学生为主体，师生共同探究结论的互动建构过程。通过学生动手、动脑，积极参与，从而自觉建构了真实鲜明、生动具体的数学思想方法，培养了学生动手动脑和勇于探索的良好品质。

3.建构数学

（1）演示：建系、设点的过程

通过演示建立坐标系与设点的解答过程，示范建立坐标系时准确的语言表述与解此类问题时规范的解题步骤，有利于培养学生答题的规范性与完整性。

(2)问题：你能接着往下推导出椭圆的方程吗？

调动学生的主观能动性，引导学生参与知识的发现与发展过程，变被动接受知识为主动探究。同时培养学生克服困难的毅力与对出现问题时前瞻性的把握。

（3）演示“焦点在x轴上的椭圆标准方程的推导过程”

演示时，教师提示抓住关键：如何去根号。接着对含根式方程在化简时从算理上予以说明。

以化解本节课的难点。

（4）根据推导过程归纳求曲线的方程的步骤.（建、设、限、代、化）

及时归纳有利于培养学生良好的学习习惯，变“学会”为“会学”。

（5）猜测焦点在y轴上的椭圆标准方程的形式

运用联想类比、以旧引新，对激发和培养学生思维的积极性和创造性起到启发和开拓的作用。

（6）问题：焦点在x轴与y轴上的标准方程的异同点

鼓励学生比较、观察、类比，培养学生理性思维能力。通过总结规律，有利于学生对新学内容的迅速掌握。

（7）焦点在x轴与y轴上的标准方程的对照表

师生协作填表，通过观察、归纳、寻找异同，在对比中让学生掌握本节课的重点。同时有利于知识形成网状结构，彼此联系，不易遗忘，符合学生的认知规律。

4.数学应用

x2y21，请填空：

例1、已知椭圆的方程为：2516(1)a=___，b=___，c=___，焦点坐标为:______，焦距等于___. (2)若C为椭圆上任意一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=_____.

通过本例（1）的讲解，使学生会由标准方程求a,b,c，焦距等基本量。（2）巩固椭圆的定义，提醒学生解圆锥曲线题时要不忘定义。教学时采用教师引导下学生自主完成的方法，有利于学生对基础知识的掌握和增强学好本课内容的信心。

变题：1）若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为_____. 2）若椭圆的方程为16x29y2144呢？

x2y21表示焦点在y轴上的椭圆，求a的取值范围. 3）若方程a23a

通过变题（1）培养学生做解析几何题时作图的习惯，培养“数形结合”的数学思想；（2）使学生明确，求基本量时应先将方程化为标准方程再求解。同时通过本题使学生加深对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解；通过（3）对方程进一步变形与一般化，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果，突出了本课的重点。

例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程

(1) a =4，b=1，焦点在

x

轴；

(2) a =4，c=15，焦点在y

轴上；

(3)两个焦点的坐标是（

0 ，-2）和（

0 ，2），并且经过点（-1.5 ，2.5）. 使学生熟练掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，逐步形成注意“二定”，即“先定位、再定量”的习惯。其中例2（3）演示详细解答过程：由于由两个二元二次方程组成的方程组的求解不少学生会感到有困难，此处演示可为学生课后独立解题起到示范和指导作用。

变题：如右图所示的挂件的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4cm，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3cm，求这个椭圆的标准方程. 以现实生活中常见的椭圆形物体作为编题背景，有利于学生学习兴趣的提高。且和前面的问题情境形成前后呼应。

课堂练习：

1.下列方程是否表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？并指明a2,b2，写出焦点坐标.

x2(1)

16

x2(2)25

y2116y2116x2y2(4)221mm1(5)9x225y22250x2y2(6)124k16k22

(3)xy1144169

2、求适合条件ab10,c25的椭圆的标准方程. 练习由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展，体现因材施教的原则，同时通过题组的训练，提高学生解决此类问题的熟练程度，体现精讲多练的教学原则。

5.回顾小结

一个方法：求标准方程的方法

y2x2x2y2二个方程: 221 ab01 a2b2ab三个意识：求美意识，求简意识，前瞻意识

通过小结形成知识体系，方便学生总体把握这节课的重点，培养学生的归纳总结能力，可把知识尽快转化为学生的素质。

6.作业布置

1.课本第28页习题2.2（1）：1（1）、（4）；2（2）、（3）

2.探究与拓展：登陆网站阅读有关“达.芬奇椭圆仪”的介绍，试解释它的工作原理。

巩固本节课所学内容，为下一课时求曲线的方程作好准备。强化基本方法与技能训练，培养

学生良好的学习习惯和品质，发现和弥补教学中的遗漏和不足。同时注意体现新课程理念，既减负，又创新。

五、教学设计说明

从下面两个方面谈谈这节课的设计说明：

一、关于本节课教学内容的选择

在选修教材中，本节课的内容主要包括：椭圆标准方程的推导以及两个例题。其中例1是已知了基本量a、c，求椭圆的标准方程问题，难度很小；例2实质上是利用相关点法求曲线方程，然后再根据方程判断曲线的类型问题。这种编排办法与老教材有很大变化，但再看看课后的练习题与习题，基本与老教材相似，并没多大改变。考虑到这是学习椭圆乃至整个圆锥曲线问题的第一节课和学生课后练习完成的实际困难，参照教参的课时安排（教参要求：椭圆约4课时，这样两节内容各安排2课时），把例2移至下一课时，同时将例1作了必要的扩充，且在例1之前加入了由标准方程方程求基本量等相关问题，使学生把圆锥曲线这块内容所学的第一个标准方程掌握牢靠，从而为后面进一步学习打下坚实的基础。

二、关于本节课中有关教学内容的处理

新教材将几类圆锥曲线的定义在前面一节课一起研究了，这样处理有它有利的地方，不利的地方是这种编排使学生对几类定义容易混淆，且对每种定义的理解都不容易做到深刻。故在本节课的开始，带领学生详细复习椭圆的定义，对定义理解时的一些要点和注意点再作进一步强调是非常有必要的。另外在老教材上学习本节内容时学生已经系统学过求曲线的方程，而新课程教材将求曲线的方程这一内容编排在本章的第6节，所以在推导椭圆的标准方程时可以让学生类比圆的方程的推导过程感知椭圆方程的推导，本节课中我设置了五个红字“建、设、限、代、化”，让学生对求曲线方程的步骤有个初步的了解，但没有在本课再作进一步的归纳。其余内容的处理详见教学过程设计。