5.3 同角三角比的关系和诱导公式国家获奖教案

课题：同角三角比的关系

授课教师：上海市行知实验中学 范晓艳

一、【教学目标】

1、能根据任意角三角比的定义自主探究出同角三角比的八个关系式，知道关系式成立的条件；

2、理解和掌握同角三角比的三种关系：倒数关系、商数关系、平方关系，并能用这些关系式解决求值问题；

3、在同角三角比关系的推导及应用的过程中，培养主动探索、勇于发现的科学精神，体验探索中成功的喜悦，提高分析问题和解决问题的能力，激发学习热情。

二、【教学重点与难点】

重点：同角三角比关系式的推导与应用

难点：三角比符号的确定及关系式的变形应用

三、【教学过程】

（一）创设情境，复习导入：

出示右图的正六边形，由学生将六个三角比填写在顶点和中心。

问题1：已知角终边上一点P(x,y)，rx2y2，

则角的六个三角比定义分别是什么？

问题2：这个神奇的图形蕴含着什么玄机？

（二）设置问题，引导探究：

探究一：六个三角比之间有什么关系？

1、学生观察、分析、自主探究出结论

2、归纳整理得到结论

sincsc1（1）倒数关系：cossec1

tancot1sintan(cos0)cos（2）商数关系：

coscot(sin0)sin

sin2cos21（3）平方关系：1tan2sec21cot2csc2

3、同角三角比关系式与正六边形记忆法

探究二：八个关系式成立的条件是什么？

三角比

sin

范 围

R R cos

tan

k2,kZ

cot

k,kZ

k2,kZ

sec

csc

判断题

（1）sin24cos241

（2）tancot1

（3）sec2360tan23601

（4）tank,kZ

2cos2csc21

（5）cos21sin22

【说明】

①理解“同角”二字的含义，至于角的形式无关重要，如（1）、（4）；

②当角取使关系式的两边都有意义的任意值时，关系式两边的值都相等，以后所说的三角恒等式都是指这个意义下的恒等式；

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、逆用、变形用），如：

cos1sin2，sin21cos2，cos探究三：如何应用同角三角比关系式求值呢？

例题1：已知cossin等。

tan4，为第四象限的角，求的其他三角比的值。

5

练

习：已知sin8，为第二象限的角，求的其他三角比的值。

1712例题2：已知tan5，求的其他三角比的值。

练

习：已知csc3，求的其他三角比的值。

【说明】

①例题1是已知角的一个三角比和它所在的象限，那么角的其他三角比就可以唯一确定；例题2是已知角的一个三角比,未给出角所在的象限,那么就应根据角的终边的所有可能的情况分别求出其他三角比。

②已知一个角的某一个三角比的值，便可运用关系式求出其他三角比的值（知一求五）。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。正负号的选择是一个难点，正确运用“平方关系”公式求平方根及象限角的概念是突破这一难点的关键。

（三）回顾反思，归纳提炼：

这节课你有什么新的收获或感悟？

1、同角三角比的关系式及成立的条件；

2、根据某一个三角比的值求其它三角比的值的解题步骤：先确定角的终边位置，再根据同角三角比的关系式求值。

（四）课后作业，巩固提高：

11、已知sin，且为第三象限的角，求的其他三角比的值。

3cos和cot的值。

2、已知tan2，求sin、3、已知cosm(0m1)，求的其他三角比的值。

4、若sin1a3a1,cos，且为第二象限的角，求实数a的值。

1a1a5、化简：sincostancot

四、【教学设计说明】

1、内容分析：

三角比是中学数学的重要内容之一，把角的概念推广到任意角以后，由任意角三

角比的定义探究同角三角比的关系，成为本节课要研究的课题。同角三角比的关

系是三角恒等变换的基础，主要用于：①已知某角的一个三角比的值，求它的其

余各三角比的值；②化简三角比的关系式；③证明三角恒等式；④解三角方程。

鉴于八个关系式的应用如此之广，因此要牢固掌握，并能灵活运用。

2、教法、学法分析：

本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法。数学上的任何新知识，都是与

旧知识有紧密联系的，因此在复习旧知识的基础上又发现了新的结论，此时引导

学生利用任意三角比定义自主探究发现同角三角比关系式，鼓励学生用代数方法

证明自己所发现的结论，进而成为新的知识，从而使学生在探求新知识的过程中

体会到发现的乐趣。为了完善这一新知识，使它更为严谨，启发学生要考虑到角

α的取值范围，在这个特定意义上才有可能成为恒等式。应用三角公式进行求值

是学生第一次接触，而求值过程中三角比符号的确定及关系式的变形应用是本节

课的难点。通过解题探讨、分析、总结，变式训练和后续的巩固来逐步突破这些

难点。本节课的公式较多且关系非常密切，在教学中要充分揭示公式间的内在联

系，以推导公式为主，图形记忆法为辅，加深理解，强化记忆。在公式推导后，

配合判断题，使学生理解并掌握公式的正用、逆用及变形用，再通过对典型例题的讲解、归纳、概括，揭示不同类型例题的解题规律与方法，使学生在获取知识的同时，培养他们观察、分析与解决问题的能力。

五、【教学反思】

师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。学生的数学学习只有通过自身的操作和主动的参与才可能是有效的，更为进一步的是学生的数学学习只有通过自身的情感体验，树立坚定的自信心才可能是成功的。为此，本节课在教学中着力于为学生提供丰富多彩的问题情境，关注学生的情感和情绪体验，让学生积极主动地投入到现实的、充满探索的数学学习过程中，从而提高数学学***，养成正确的学习态度和习惯。

教学设计的难点在于教师把学术形态的知识转化为适合学生探究的认知形态的知识。学生的认知结构具有个性化特点，教学内容具有普遍性要求。如何在一节课中把二者较好地结合起来，是提高课堂教学效率的关键。本节课教学的流程是：什么是同角三角比的关系---同角三角比的关系的正六边形记忆法---同角三角比的关系成立的条件---同角三角比的关系的应用。注重设计情境激发学生的学

习动机，激励学生自主探究；以问题为载体，注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣；注重师生之间、生生之间互动，注重相互协作，共同提高。注重配置符合学生认知规律的相应例题和课后作业，重视思维训练，注重数学思想方法的溶入渗透。

六、【教学点评】

本节课既是一堂新课又是一堂探究课。如何在数学课堂教学中体现新课程理念，本课进行了有益的探索。整个教学设计过程,以问题为出发点,以教师为主导，学生为主体，设计的问题情境顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，有效地激发了学生的学习动机，重视思维训练，注重数学思想方法的溶入渗透。

本节课采用

“问题情境—

意义建构—

数学理论—

数学运用—

回顾反思”

的教学流程。在课题引入时，由数学对联“上弦中切下层割，左正右余中间1”与正六边形的关系，有效地激发学生学习的欲望和探究的兴趣。引导学生观察、分析、自主探究出结论。随后教师构造了三个探究问题。三个探究问题是本节课亮点，设计精巧，层层递进，由此引发了学生积极的思考、探索与交流。

设计中体现了师生主动参与体验的有机结合，重点突出，容量适中，由浅入深，环环相扣。整个教学过程教师只是指导、点评，充分展示知识发生、发展的过程，由学生自主建构，在此过程中获得对知识的亲身体验，把教学的主动权给了学生，鼓励学生自主探索、研究性学习，使学生成为真正意义上的学习主人。