实习作业 走进微积分教案教学设计导入设计

金昌市第四中学（高二年级）（数学）教案·（选修1-1 第二章）

主备人

卢向英 总第 课时

实习作业 走进微积分

【教学目标】 知识与技能：通过让学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等方式，把原本枯燥无味的微积分文化教学变成较为生动有趣的活动课堂；

过程与方法：通过本节课使学生学会利用课余时间走向数学文化的大课堂，让学生进一步了解数学学科与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、开阔视野；

情感态度与价值观：寻求历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，同时受优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高学生的文化素质和创新意识. 【教学重难点】

培养学生的自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习能力. 【教学方法】自主合作、启发引导

【教学过程】

一、制定计划，分工协作

组别

组长

成员

任务

查阅莱布尼兹的生平资料

第一组

姜有瑞

张萌萌等6人

查阅牛顿的生平资料

第二组

张泽枫

马龙等6人

第三组 韩旭

张心悦等6人

查阅微积分的相关资料

第四组

王文轩

余晟东等6人

查阅古代微积分的相关资料

第五组

陈怡兰

杜馨雨等6人

查阅微积分的研究对象及相关概念

第六组

张欣雨

李寒冰等6人

查阅微积分的创立及其发展

第七组

王寿龙

李明远等6人

查阅微积分思想的一些代表性工作

第八组

王雅琨

黄祺航等6人

查阅有关微积分的书籍

二、走进课堂、互动交流

（一）人物简介

1.牛顿生平简介

牛顿(1643—1727)：是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，是十七世纪最伟大的科学巨匠.代表作品有《自然哲学的数学原理》.牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大的科学天才，他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的.尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德. 2.莱布尼兹简介

莱布尼兹（Leibniz，1646—1716）是德国数学家、哲学家、自然科学家.他出身书

香门第，其父是莱比锡大学的哲学教授.他自幼聪明、勤奋、好学，是罕见的神童，15 岁（1661 年）考入莱比锡大学学习法学，并钻研哲学与数学，18 岁（1664 年）获得哲

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学硕士学位，20 岁（1666）年获得法学博士学位，尔后从事外交事务，他是在和许多数学家的接触中学习数学知识并开始从事微积分研究的. 3.牛顿和莱布尼兹创立微积分时所做的开创新工作

牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹.莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的. 莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一.因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号（现在微积分通用的符号是莱布尼兹所创设的），这对微积分的发展有极大影响. （二）微积分简介

微积分学（differential andintegralcalculus）是微分学和积分学的总称.它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分，无线就是极限.因此内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.函数是微积分研究的基本对象，极限是微积分的基本概念，微分和积分是特定过程特定形式的极限.17世纪后半叶，英国数学家艾萨克.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼兹，总结和发展了几百年间前人的工作，建立了微积分，但他们的出发点是直观的无穷小量，因此尚缺乏严密的理论基础.19世纪A.-L.柯西和K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上；加之19世纪后半叶实数理论的建立,又使极限理论有了严格的理论基础,从而使微积分的基础和思想方法日臻完善. 数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的.从15世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成了一个新的经济时代，宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国复灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层面前呈现出一个完全崭新的面貌. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动的数学的发展.科学对数学提出的种种要求，最后汇总成多个核心问题：

（1）运动中速度与距离的互求问题；

（2）求曲线的切线问题；

（3）求长度、面积、体积、与重心问题等

；

（4）求最大值和最小值问题；

复习旧知

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平均变化率：f(x2)f(x1)f

x2x1x瞬时变化率：f(x0)limx0f(xx)f(x0)

xx0曲线的切线：斜率：f(x0)limf(xx)f(x0)，切线方程为：yy0f(x0)(xx0)

x最大值和最小值：1.函数的最大(小)值的存在性

一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．

2.求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤：

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

3.求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：

(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)的根是否在给定区间内；

(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；

(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．

（三）古代微积分

公元前三世纪，古希腊数学的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积，螺旋下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想.对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的！庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中记有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”

荀况（前313-238）的《荀子•大略》中“尽小者大，积微者著”一语（使我们想起荀子的另一些名言:“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”）；

三国时期刘徽的“割圆术”. “割圆术”的含义：所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求圆周率的方法.这个方法是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法. （四）微积分的研究对象及相关概念

研究对象：函数的微分、积分、极限以及有关概念和应用；

基本概念：极限、导数、积分等. 1.极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）.极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述.在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上. 2.导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时，因

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变量的增量与自变量的增量之商的极限.一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则. 3.不定积分：在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f

的函数

F

，即F ′ = f.不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定.其中F是f的不定积分.这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行. 设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分,记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+ C.其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分. （五）微积分的创立及其发展

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系.最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的.前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献.对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的. 微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事.时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样.它的出现并不偶然，它有一个漫长的成长过程.早在古希腊时代，阿基米德等人的著作就已含有积分学的萌芽.以后经过一千多年的沉寂，欧洲在文艺复兴以后对阿基米德的学说重新掀起研究的热潮，涌现出许多先驱者.而微积分真正的确立是在17世纪，从笛卡儿的解析几何开始，接着是微积分的创建，它将数学的历史带入一个新的时期——变量数学时期.欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学微积分在数学发展史上可以认为是一个伟大的成就，由于微积分的创立不仅解决了当时的一些重要的科学问题，而且由此产生了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等，是数学中的大革命. 微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩.在微积分的创立过程中，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功地运用无穷小、无限过程进行运算，他们的努力和成就为极限思想的进一步发展和完善奠定了坚实的基础．而多方面的怀疑和批评，促使数学家们掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动，进而使极限理论得到了完善. （六）微积分思想的一些代表性工作

①刘徽于公元263年首创割圆术求圆面积和方锥体积; ②中国古代数学家利用割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积的方法求圆周率; ③古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出抛物线弓形的面积;

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④意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》中把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的. （七）微积分在现实生活中的应用

1.设计师在设计钢板需要用微积分计算不规则物体的表面积、体积等这样不但节省材料还能保证质量. 2.导弹发射、卫星、航天飞机、宇宙飞船、天文学中计算引力做功、轨道及运营情况等. 3.设计拱桥、天气预报、计算盈利情况、投资风险、期望值、回报率、保险行业...... （八）有关微积分的一些书籍

《微积分学教程》

---------------菲赫金哥尔茨 《微积分与比萨饼》

--------（美）克利福德 A·皮科夫 《微积分之屠龙宝刀(笑傲极限连续导数积分法)》

---------(美国)C·亚当斯等著、张菽译

《高等数学（一）微积分》

-----高汝熹

（九）总结

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着.在数学中引入了变量的概念后, 就有可能把运动现象用数学来加以描述了.而微积分的创立恰好为此奠定了基础.微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一”．微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促进作用．

三、教学反思

实习作业是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，强调发挥学生的自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习能力，使学生受益终生.本节课尝试，把原本枯燥乏味的微积分文化教学变成了较为生动有趣的活动课堂.实习作业走进微积分的开展，看似浪费时间，影响教学进度，但换来的是学生更多主动地参与，不但开阔了学生的视野，同时还为培养学生多方面的能力提供了舞台. 在本节课的教学过程中，教师要改变心态，学生的数学知识和能力不仅仅就决限于课堂中的45分钟和自己平日传授的教科书中，要教会学生利用课余时间走向数学文化的大课堂，以便让其进一步了解数学学科与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野；并寻求历史轨迹，激发学生对于数学创新原动力的认识；同时受优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素质和创新意识.同时，在教学过程中，要适当安排些课内课外实习作业活动课，真正以学生为主体以教师为主导这样以便促进学生学习、促进学生思考、促进学生发展.另外

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教师也需要不断的学习加强自身的各方面素质和能力，以便更好地引导学生.

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