3.2.1 几个常用函数的导数教学设计及课堂实录

教学设计

一、教材：人教A版选修1-1 二、教学课题：3.2.1几个常用函数的导数

三、教学目标

知识与技能：

1、掌握几个常用函数的导数公式，了解函数导数表示的几何意义和物理意义。

2、了解由导数定义推导几个常用函数的导数的推导过程。

过程与方法：

1、了解由导数定义推导几个常用函数的导数的一般方法和基本步骤。

2、运用“类比”思想求一些简单函数的导数。

情感态度价值观：

1、

通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识、几何知识之间的联系，提高学生的数学引用意识。

2、注意培养学生归纳类比的能力。

四、教学重难点

教学重点：

让学生会根据导数的定义求四个常用函数的导数，并能利用导数公式求函数切线的斜率以及切线的方程，引导学生了解导数的几何意义和物理意义。

教学难点：

1、由导数定义求常用函数导数的推导过程。

2、根据函数图象结合导数描述函数值与自变量的变化情况，理解函数导数与切线斜率的关系。

五、课时安排：1课时

六、教学用具：板书

七、教学方法：讲述法，讨论交流

八、教学过程：

1．复习导入：

（1）、函数的导数的概念

fxlimfxxfxylim

x0xx0x（2）、导数的几何意义

曲线在某点处的切线的斜率；

（3）导数的物理意义

物体在某时刻的瞬时速度；

（4）求函数的导数的方法： 10、求函数值增量：yfxxfx

20、求平均变化率：yfxxfx

xxfxxfx

x3、对平均变化率在x0时取极限，即ylim0x02、新课讲解

（1）.函数yfxc的导数

yfxxfxcc0

因为 xxx所以 ylimylim00

x0xx0从几何的角度理解：

y0表示函数yc图像上每一点处的切线的斜率都为0．

从物理的角度理解：

若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态。

（2）.函数yfxx的导数

因为 yfxxfxxxx1

xxxylim11

x0xx0所以 ylim从几何的角度理解：

y1表示函数yx图像上每一点处的切线的斜率都为1。

从物理的角度理解：

若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

探究一：在同一直角坐标系中，分别画出函数y2x,y3x,y4x的图象，并根据导数定义，求出它们的导数。

1、从图象上看，它们的导数分别表示什么? 2、这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加的最慢？

3、函数ykxk0增（减）的快慢与什么有关？

结论：当k0时，导数越大，递增越快：当k0时，导数越小，递减越快。

（3）．函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2因为

xxxx22xx(x)2x22xx

x所以 ylim从几何的角度理解：

ylim(2xx)2x

x0xx0y2x表示函数yx2图像上点(x,y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y2x表明：

当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；

当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．

从物理的角度理解：

若yx2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

（4）．函数yf(x)1的导数

x11yf(xx)f(x)xxx因为

xxxx(xx)1

2x(xx)xxxxy11lim(2)2

x0xx0xxxx1探究二：作出函数y的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在x所以 ylim点（1，1）处的切线方程。

由上可得k1，y1x1，即xy20，曲线在点（1，1）处的切线方程为xy20。

（5）．函数yfxx的导数

因为 yf(xx)fxxxxxx

x =xxxxxxx1xxx

xxx

=所以 ylimy11lim

x0xx0xxx2x（6）.推广：若fxxnnQ，则f(x)nxn1

3．例题讲解

例1．曲线yx3上哪一点的切线与直线y3x1平行？

解：设点P(x0,y0)为所求的点，则它的切线斜率为k3，

∵f(x)3x2，

∴3x03，x01，

∴P(1,1)或P(1,1)．

2

4. 当堂练习

求下列函数的导数

（1）yx3 （2）y（3）yx （4）y5．小结

（1）记熟几个常用函数的导数的结论，并能熟练使用。

（2）C0，xnnxn1nQ

31

2xx2x

（3）只要不明确要求用定义证明，上述结论直接使用。

6. 作业

P85

习题3.2 A组 1，2，3