习题2.1教学设计一等奖

章末综合检测(二) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．正方体的8个顶点可以确定平面的个数为(

) A．6 C．14 B．8 D．20 解析：选D．①正方体本身有6个面；②正方体每两条平行的棱(不在正方体的同一面上)可以确定一个平面，有6个；③正方体共顶点的三条棱的另外三个顶点确定一个平面，有8个．所以正方体的8个顶点共可以确定20个平面．

2．空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(

) A．平行

B．异面

C．相交或平行

D．平行或异面或相交均有可能

解析：选D．

如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，

故选D．

3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形是(

) A．等边三角形

C．等腰梯形

B．矩形

D．以上都有可能

解析：选D．当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；

当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；当点Q不与点D，D1重合时，令Q，R分别为DD1，C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)．故选D．

4．给出下列命题：

①过平面外一直线有且仅有一个平面和这个平面平行；

②如果一个平面经过另一个平面的斜线，那么这两个平面不可能垂直；

③若直角三角形ABC在平面α内的射影仍是直角三角形，则平面ABC∥平面α. 其中正确命题的个数为(

) A．0 C．2 B．1 D．3 解析：选A．对于①，平面外的直线有两类，其一是与平面相交的直线，其二是与平面平行的直线，显然①不正确；对于②，容易判断②是错误的；对于③，平面ABC与平面α也有可能相交，因此③不正确．故选A．

5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得(

) A．a⊂α，b⊂α

C．a⊥α，b⊥α

B．a⊂α，b∥α

D．a⊂α，b⊥α

解析：选B．因为已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，则A∉b，过A作直线c∥b，则过a，c必存在平面α且使得a⊂α，b∥α. 6．已知直线PG⊥平面α于点G，直线EF⊂α，且PF⊥EF于点F，那么线段PE，PF，PG的长度的大小关系是(

) A．PE>PG>PF

C．PE>PF>PG

B．PG>PF>PE

D．PF>PE>PG

解析：选C．Rt△PFE中，PE>PF，Rt△PGF中，PF>PG，所以PE>PF>PG. 7．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．异面

D．相交成60°

解析：选D．如图所示，△ABC为正三角形，故AB，CD相交成60°.

8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为(

)

A．30°

C．60°

B．45°

D．90°

解析：选D．连接AC，底面是正方形，则AC⊥BD，由几何体是正方体，可知BD⊥AA1，又AC∩AA1＝A，

所以BD⊥平面C1CAA1，

因为CE⊂平面C1CAA1，所以BD⊥CE，

所以异面直线BD，CE所成角是90°.故选D．

9．如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是(

) A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

解析：选C．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC．同理，DE⊥AC，又DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ABC，AC⊂平面ADC，所以平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.故选C．

10．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(

) A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

解析：选D．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C．若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B．故选D．

11．在等腰Rt△A′BC中，A′B＝BC＝1，M为A′C的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为(

) A．30°

C．90°

B．60°

D．120°

解析：选C．如图所示，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝2.因为M为A′C的中点，所以MC＝AM＝2.且CM⊥BM，AM⊥BM，22，

2所以∠CMA为二面角C-BM-A的平面角．因为AC＝1，MC＝AM＝所以∠CMA＝90°. 12．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(

) A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

解析：选D．选项A，B，C显然错误．因为PA⊥平面ABC，所以∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角．因为ABCDEF是正六边形，所以AD＝2AB．因为tan∠PDA＝＝1，所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．已知a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面．

①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；

②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；

④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β. 上述命题中，正确命题的序号是________．

解析：对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确．

答案：②④

14．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SE∶SA＝______时，SC∥平面EBD．

PA2AB＝AD2AB

解析：连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．因为SC∥平面EBD．且平面EBD∩平面SAC＝EO，所以SC∥EO，所以点E是SA的中点，此时SE∶SA＝1∶2.

答案：1∶2 15．已知直二面角α-l-β，A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离为__________．

解析：如图，作DE⊥BC于点E，由α-l-β为直二面角，AC⊥l，得AC⊥β，进而AC⊥DE，又BC⊥DE，BC∩AC＝C，于是DE⊥平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离．在Rt△BCD中，利用等面积法得DE＝BD·DC1×26＝＝. BC33答案：6

316．如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：

①PC∥平面OMN；

②平面PCD∥平面OMN；

③OM⊥PA；

④直线PD与直线MN所成角的大小为90°. 其中正确结论的序号是__________．

解析：连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB．又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为∠PDC．又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故④错误．

答案：①②③

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD．

(1)求证：BD⊥PC；

(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l. 证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接PO. 因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC．

又因为PB＝PD，O为BD的中点，

所以BD⊥PO. 因为PO∩AC＝O，

所以BD⊥平面PAC，

因为PC⊂平面PAC，

所以BD⊥PC．

(2)因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD．

因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD．

所以BC∥平面PAD．

又因为BC⊂平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l. 所以BC∥l. 18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC＝90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N在PB上，且PB＝4PN.

(1)求证：平面PCE⊥平面PAB；

(2)求证：MN∥平面PAC．

证明：(1)因为AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC．

又∠APC＝90°，所以AP⊥PC，

又AB∩AP＝A，所以PC⊥平面PAB．

又PC⊂平面PCE，

所以平面PCE⊥平面PAB．

(2)取AE的中点Q，连接QN，QM，

在△AEC中，因为M是CE的中点，所以QM∥AC．

又PB＝4PN，AB＝4AQ，

所以QN∥AP，

又QM∩QN＝Q，AC∩AP＝A，

所以平面QMN∥平面PAC．

又MN⊂平面QMN，

所以MN∥平面PAC．

19．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．

(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C-A1DE的体积．

解：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，连接DF，

则F为AC1的中点．

又D是AB中点，则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，

BC1⊄平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD．

(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．

因为AC＝CB，D为AB的中点，

所以CD⊥AB．

又AA1∩AB＝A，

所以CD⊥平面ABB1A1. 由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得

∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，

故A1D2＋DE2＝A1E2，

即DE⊥A1D．

11所以V三棱锥C-A1DE＝××6×3×2＝1. 3220．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.

求证：(1)EN∥平面PDC；

(2)BC⊥平面PEB；

(3)平面PBC⊥平面ADMN. 证明：(1)因为AD∥BC，BC⊂平面PBC，

AD⊄平面PBC，

所以AD∥平面PBC．

又平面ADMN∩平面PBC＝MN，

所以AD∥MN. 又因为AD∥BC，

所以MN∥BC．

又因为N为PB的中点，

所以M为PC的中点，

1所以MN＝BC．

2因为E为AD的中点，

11DE＝AD＝BC＝MN，

22∥MN，

所以DE═所以四边形DENM为平行四边形，

所以EN∥DM. 又因为EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，

所以EN∥平面PDC．

(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，

所以BE⊥AD．

又因为PE⊥AD，PE∩BE＝E，

所以AD⊥平面PEB．

因为AD∥BC，

所以BC⊥平面PEB．

(3)由(2)知AD⊥PB．

又因为PA＝AB，且N为PB的中点，

所以AN⊥PB．

因为AD∩AN＝A，

所以PB⊥平面ADMN. 又因为PB⊂平面PBC，

所以平面PBC⊥平面ADMN. 21．(本小题满分12分)如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB

1＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE2的位置，得到四棱锥A1­BCDE.

(1)求证：CD⊥平面A1OC；

(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为362，求a的值．

1解：(1)证明：在题图(1)中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝90°，2所以BE⊥AC，BC＝ED，

即在题图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC．

又BC∥═ED，所以四边形BCDE是平行四边形，

所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．

(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．

由题图(1)，可知A1O＝22AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2. 2211222从而四棱锥A1­BCDE的体积V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3.由a3＝362，得a33266＝6. 22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝2.

(1)求证：B1C∥平面A1BM；

(2)求证：AC1⊥平面A1BM；

(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)证明：连接AB1交A1B于O，连接OM.如图所示．

BN的BB1

在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，

所以OM∥B1C．

又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，

所以B1C∥平面A1BM. (2)证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，

所以AA1⊥BM. 因为M为棱AC的中点，AB＝BC，

所以BM⊥AC．

又AA1∩AC＝A，

所以BM⊥平面ACC1A1，

所以BM⊥AC1. 因为M为棱AC的中点，AC＝2，

所以AM＝1. 又AA1＝2，

所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，

tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2，

所以∠AC1C＝∠A1MA，

所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，

所以A1M⊥AC1. 因为BM∩A1M＝M，

所以AC1⊥平面A1BM. (3)存在点N，且当点N为BB1的中点，

即BN1＝时，平面AC1N⊥平面AA1C1C．

BB12设AC1的中点为D，连接DM，DN.如图所示．

因为D，M分别为AC1，AC的中点，

1所以DM∥CC1，且DM＝CC1. 2又N为BB1的中点，

所以DM∥BN，且DM＝BN，

所以四边形DMBN是平行四边形，

所以BM∥DN. 因为BM⊥平面ACC1A，

所以DN⊥平面ACC1A1.

又DN⊂平面AC1N，

所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.