小结名师教学设计1

简单多面体表面上的最短路径问题

徐

小

华

一、教学目标

1、知识目标：会将简单多面体展开，将空间问题转化为平面问题进行求解。

2、能力目标：培养学生观察、分类、归纳和探索问题的能力。

二、教学重、难点

重点：将空间问题转化到平面上的化归的思想的理解及运用。

难点：将简单多面体按各种情形分类展开。

三、教学方法与用具

方法：电教法、讲练法、分析推理法。

用具：多媒体、模具。

四、教学过程

（一）复习引入：

1、复习提问：

在同一平面上两点之间最短的线是什么？那么在几何体不同表面上的两点，它们间的最短路线又如何确定？

2、知识回顾：圆柱和圆锥侧面积公式的推导。

3、情境设置：

（如图）圆柱底面半径为r，母线长为L，求从圆柱上底面圆周上一点A绕圆柱侧面一周后到下底面圆周上点B的最短距离。

AA'LB2rB'

[学生动手] 把书本卷成圆柱状，绕侧面一周画一条线，观察如何使线会最短？

d最短＝A'BL2(2r)2

[学生归纳] 将圆柱侧面按母线展开化归为平面几何问题求解。

[问题提出] 圆柱和圆锥侧面可展开到同一平面上，简单多面体表面能否展开到同一平面上？

（二）

新课探讨：

例题1：如图，正三棱锥S-ABC的侧棱长为1,ASB30，M和N分别是棱SB和SC上的点，求AMN的周长的最小值。

S

SA10NNMABCAMCB

分析探讨：

（1）截面BEF周长实质上指得的是什么？

（引导学生回答）

实质上就是从B点出发，绕棱锥侧面一周后回到B点的所经过的路程。

（2）如何求出求AMN的周长的最小值？（即使路程最短，如图，BB1即为所求）

解题心得：

（学生归纳）棱锥表面上的最短距离问题同样化解到平面上求解。

例1：长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，BB15，今有一蚂蚁从A点出发沿着表面爬行至C1点，问它的最短行程是多少？

D1C1

师生互动：

1、

将长方体分成前后、左右、上下六个面，从点A经过哪些面可到达点C1？

（老师提出问题，学生提出各种观点）

2、

假使从相同的面过去，路径唯一吗？

3、

老师画出各种图示，并反问还有其他线路吗？（从面入手考虑）

4、

如何计算比较？（学生回答展开到同一平面）

多媒体演示：

从AC1共有六条线路：

（1）

从前、上面或下、后面过去：

A1B1DCBAD1C1D1A1C1B1A1B1DCB

DCAAB

AC180

（2）

从左、后面或前、右面过去：

A1D1C1A1D1B1C1B1DBC

ADABC

AC174

（3）

从左、上面或下、右面

D1C1B1CjB1D1A1A1BDAjCBD

A

AC190

学生动手计算，得出所有结果，并取最小值（培养运算能力）

解题心得：

（学生归纳）求在棱柱不同表面上的两点间的最短距离，即将它们展开到同一平面上，转化为求两点间的线段长。

演练题：如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB3，BC4，BB16，ABC900，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的相邻两个面从E到F两点的最短路径的长度为______

A1

E

A

C1FB1CB

思考要点：

（1）确定所经路径；

（2）如何展开平面；

（3）如何简化计算。（学生演练）

多媒体展示：从EF共有四条线路：

（1）

C

（2）

1FA1EABB1C

A1EAB1FC1BCEF34

EF34

（3）

（4）

C1A1B1

A1

EE

ABA

C

B1FC1CBEF58

EF3842（三）

小结：

本节课通过引导学生进行观察、分析、归纳、探索性的学习，解决了求简单多面体表面上的最短距离问题，应注意理解：

1、

把空间问题转化为平面问题进行求解的化归的思想方法。

2、分类讨论时应全面考虑的思想方法。

五、思考与作业：

1、如图，点M是边长为2的正方体木块的侧面BB1C1C的中心，点N是BB1上一动点，连接MN，NA，则MN+NA的最小值是

。

D1C1A1NB1MDC

A

2、《优化作业本》P28—10,

P40—4 B