习题2.3优质课教案内容

2.3.2平面和平面垂直的判定和性质

四川省遂宁市安居第一高级中学

陈兴刚

一、教学目标

（一）核心素养

（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．

（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．

（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．

（二）学习目标

（1）两个平面互相垂直的判定．

（2）两个平面互相垂直的性质．

（三）学习重点

两个平面垂直的判定、性质．

（四）学习难点

（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．

（2）正确作出符合题意的空间图形．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：

二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

（2）平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（3）判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直

如果两个平面互相垂直，

l⊥α⇒α⊥β

l⊂β性质定理

则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α

2．预习自测

1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（

）

A．b⊥β

B．b∥β

C．b⊂β

D．b⊂β或b∥β

【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D. 【答案】D 2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A. 【答案】A 3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（

）

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α. D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.

【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；

B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；

C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；

D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．

【答案】C (二)课堂设计

1．知识回顾

（1）直线和平面垂直的判定定理

文字语言

如果一条直线与一个平图形语言

符号语言

判定定理

面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

l⊥al⊥ba∩b＝O⇒l⊥α

a⊂αb⊂α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法

文字语言

如果两条平行直线中的判定方法

一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．

（3）直线和平面垂直的性质定理

如果两条直线垂直于性质定理

同一个平面，那么这两条直线平行

2．问题探究

探究一

实例引领

，认识平面和平面垂直的概念★

图形语言

符号语言

a//b，a．

则b

a⊥α⇒a∥b

b⊥α

●活动①

简单类比，引出定义

两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．

教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．

两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．

请同学思考两个平面互相垂直的定义. 两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．

平面α和β垂直，记作α⊥β．

●活动②

实例引领，思维激活

实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?

曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）

下面我们一起给出分析，证明：

已知：AB⊥，AB∩＝B，AB．

【解题过程】要证⊥，需证和构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．

证明：设∩＝CD，则由AB⊂知，AB、CD共面．

∵AB⊥，CD，∴AB⊥CD，垂足为点B．

在平面内过点B作直线BE⊥CD．

则∠ABE是二面角-CD-的平面角．

又AB⊥BE，即二面角-CD-是直二面角．

∴⊥．

现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：

建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？

［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．

［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：

线面垂直⇒面面垂直

请同学们接着思考如下问题：

在所给正方体中，下式是否正确：

①平面ADD1A1⊥平面ABCD；

②D1A⊥AB；

③D1A⊥面ABCD．

［学生］①∵

AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．

②∵

AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴

AB⊥D1A

③∵

AA1⊥面ABCD，∴

AD1与平面ABCD不垂直．

平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，

A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？

判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．

从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．

下面我们一起来完成证明. 证明过程如下：

已知：⊥、∩＝a，AB，AB⊥a于B．

【解题过程】：在平面内作BE⊥a垂足为B，

则∠ABE就是二面角-a-的平面角．

由⊥可知，AB⊥BE．

又AB⊥a，BE与a是内两条相交直线，∴AB⊥．

证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的. 【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．

【答案】见解题过程.

探究二

层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．

●活动①

互动交流，初步实践

例1 求证：

（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；

（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．

【知识点】平面和平面垂直的判定. 【数学思想】化归思想.

【解题过程】（1）已知：l∥，l⊥，求证：⊥

证明：在平面内任取一点P．

∵l∥，∴Pl．

P、l可确定一平面．设∩＝l′则l∥l′．

lll//l l⇒⊥

［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］

(2)已知：⊥，∥．求证：⊥

证明：过内一点P作直线l，使l⊥则l．

l与内任一点Q确定平面，设∩＝l′，则l∥l′．

l′⊥，因此⊥．

【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②

巩固基础，检查反馈

例2 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．

【知识点】平面和平面垂直的判定

【数学思想】化归思想

【解题过程】证明：因为AB是⊙O的直径，C是圆周上的点，所以有BC⊥AC①．因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则PA⊥BC②．

由①②及AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC．

因为BC⊂平面PBC，有平面PAC⊥平面PBC．

【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．

【答案】见解题过程. 例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．

【知识点】平面和平面垂直的判断和性质. 【数学思想】转化思想. 【解题过程】证明：在平面PAC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面PAC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面PAC．因为AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC．

【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通

过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．

【答案】见解题过程. 例4

P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．

【知识点】二面角的概念，距离. 【数学思想】化归思想. 【解题过程】如图，

过点P作PA⊥α于A，PB⊥β于B，

设相交直线PA、PB确定的平面为γ，a∩γ＝O，则α∩γ＝OA，β∩γ＝OB

连结PO，则AP=BP=10 ∵PA⊥α，PB⊥β，∴a⊥γ，而PO⊂平面γ，∴a⊥PO，

∴PO的长即为点P到直线a的距离．

又∵a⊥γ，OA，OB

∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角，即∠AOB=120°．

而四边形AOBP为一圆内接四边形，且PO为该四边形的外接圆直径．

∵四边形AOBP的外接圆半径等于由A、B、O、P中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO的长可利用△APB．

在△APB中，AP=BP=10，∠APB=60°，∴AB=10．

由正弦定理：PO2RAB203．

sin603【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是

一种可取的方法．

（2）充分借助于四边形PAOB为一圆内接四边形，∵PA⊥OA，PB⊥OB，∵PO即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．

203【答案】3.

活动③

强化提升，灵活应用

例5.过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，∠BSC=90°，∠ASB=60°，若截取SA=SB=SC=a. (1)求证：平面ABC⊥平面BSC；

(2)求S到平面ABC的距离．

【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想

【解题过程】(1)证明：∵SA=SB=SC=a，

又∠ASC=∠ASB=60°，

∴△ASB和△ASC都是等边三角形，∴AB=AC=a，

取BC的中点H，连结AH，∴AH⊥BC．

在Rt△BSC中，BS=CS=a，

∴SH⊥BC，BC2a，

AH2AC2CH2a2∴(22a22a)2，∴SH2a22．

AH2在△SHA中，∴a2a222，SH2，SA2a2，

∴SA2SH2HA2，∴AH⊥SH，∴AH⊥平面SBC．

ASC=∠

∵AH⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC．

或：∵SA=AC=AB，

∴顶点A在平面BSC内的射影H为△BSC的外心，

又△BSC为Rt△，∴H在斜边BC上，

又△BSC为等腰直角三角形，∴H为BC的中点，∴AH⊥平面BSC．

∵AH⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC．

(2)由前所证：SH⊥AH，SH⊥BC，∴SH⊥平面ABC，

SHBC2a22，

∴SH的长即为点S到平面ABC的距离，2a∴点S到平面ABC的距离为2．

【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点. 2a【答案】（1）见解题过程；（2）2．

同类训练

如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.

(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；

(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明. 【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF平面ACE，∴DF∥平面ACE. 又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.

1(2)线段BE上存在点G，且BG＝3BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：

取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，

连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE. 在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF. 由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE. 又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面BEF，∴DE⊥GF. GFCEGFDEGF平面CDE. CEIDE＝E又GF⊂平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE. 此时，如平面图所示，∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，

由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，

1∴HB＝BC＝2EF. 由△HGB∽△FGE可知BG11，即BGBE. GE23【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．

1【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE上存在点G，且BGBE，使得平面3DFG⊥平面CDE. 3. 课堂总结

知识梳理

（1）证明面面垂直的方法

（2）重难点归纳

空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，

其转化关系为

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．

（三）课后作业

基础型

自主突破

一、选择题

1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（

）

A．AB∥m

B．AC⊥m

C．AB∥β

D．AC⊥β

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明. 【解题过程】如图所示，

AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D. 【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答. 【答案】D. 2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（

）

A．过a一定存在平面β，使得β∥α

B．过a一定存在平面β，使得β⊥α

C．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥b

D．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明. 【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．

【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断. 【答案】B．

3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（

）

A．若m∥α，则l∥m

B．若α∥β，则l⊥m

C．若l⊥m，则α∥β

D．若α⊥β，则l∥m

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明. 【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B. 【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D. 【答案】B. 4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(

) A．a⊥α，b∥β，α⊥β

B．a⊥α，b⊥β，α∥β

C．a⊂α，b⊥β，α∥β

D．a⊂α，b∥β，α⊥β

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明. 【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D

中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．

【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D. 【答案】C. 5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（

）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

【知识点】面面垂直的判定. 【解题过程】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C. 【思路点拨】缺少

【答案】C. 6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直”，则______．

【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A-BCD，进而易证结论：“SVABC2SVACD2SVADB2SVBCD2．”

【答案】SVABC2SVACD2SVADB2SVBCD2．

7.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明. 【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC) 8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。

【解题过程】证明：(1)如图，取CE的中点G，连接FG、BG.

1∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝2DE. ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB. 1又AB＝2DE，∴GF＝AB. ∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF平面BCE，BG⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE. (2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. 【答案】见解题过程. 9.如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2. (1)证明：AF∥平面BDG；

(2)证明：平面BGM⊥平面BFC.

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明. 【解题过程】证明：(1)连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG.

∵点G为FC的中点，∴OG为△AFC的中位线，∴OG∥AF. ∵AF平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AF∥平面BDG. (2)连接FM. ∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，∴BG⊥CF. ∵CM＝2，∴DM＝4. ∵EF∥AB，四边形ABCD为矩形，∴EF∥DM，

又∵EF＝DM＝4，∴四边形EFMD为平行四边形．

∴FM＝ED＝2，∴△FCM为正三角形，∴MG⊥CF. ∵MG∩BG＝G，∴CF⊥平面BGM. ∵CF⊂平面BFC，∴平面BGM⊥平面BFC.

【答案】见解题过程. 能力型

师生共研

10.如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F、G、H分别为BP、BE、PC的中点．

(1)求证：FG∥平面PDE；

(2)求证：平面FGH⊥平面ABE；

(3)在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明. 【解题过程】(1)证明：因为F、G分别为PB、BE的中点，所以FG∥PE，又FG平面PDE，PE⊂平面PDE，所以FG∥平面PDE. (2)证明：因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB. 又CB⊥AB，AB∩AE＝A，所以CB⊥平面ABE. 由已知F、H分别为线段PB、PC的中点，

所以FH∥BC.则FH⊥平面ABE. 而FH⊂平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE. (3)在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM. 证明如下：

如图，在PC上取一点M，连接EF，EM，FM.在直角三角形AEB中，因为AE＝1，AB＝2，所以BE＝5. 在直角梯形EADP中，因为AE＝1，AD＝PD＝2，所以PE＝5，所以PE＝BE.

又F为PB的中点，所以EF⊥PB. 要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM. 因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，

又CB⊥CD，PD∩CD＝D，

所以CB⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，所以CB⊥PC. PMPF若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得PB＝PC. 由已知可求得PB＝23，PF＝3，PC＝22，

32所以PM＝2. 【答案】（1）见解题过程；（2）见解题过程；（3）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM. 探究型

多维突破

11.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求证：C1F∥平面ABE；

(3)求三棱锥E－ABC的体积．

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明. 【解题过程】(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1. 因为AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.

(2)证明：法一：如图1，取AB中点G，连接EG，FG. 因为E、F分别是A1C1、BC的中点，

1所以FG∥AC，且FG＝AC. 2因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，

所以FG∥EC1，且FG＝EC1. 所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F∥平面ABE. 法二：如图2，取AC的中点H，连接C1H、FH. 因为H、F分别是AC、BC的中点，所以HF∥AB，

又因为E、H分别是A1C1、AC的中点，

所以EC1=AH且EC1//AH，

所以四边形EAHC1为平行四边形，

所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，

所以平面ABE∥平面C1HF，又C1F⊂平面C1HF，所以C1F∥平面ABE. (3)解：因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2-BC2＝3. 1113所以三棱锥E－ABC的体积V＝3S△ABC·AA1＝3××3×1×2＝23. 【思路点拨】线线、线面关系是立体几何的核心内容之一，它在空间线面位置关系的推理证明中起着承上启下的桥梁作用．证明线面位置关系不仅要考虑线面位置关系的判定和性质，更要注意几何体中几何特征的灵活应用．证明的依据是空间线面位置关系的判定定理和性质定理，根据线线、线面、面面的平行与垂直的相互转化．另外，根据几何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以要注意几何体中数据的正确利用．

3【答案】（1）见解题过程；（2）见解题过程；（3）3. 自助餐

12.如图1-4所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，PA＝PD＝5，E，F分别是棱AD、PC的中点．

(1)证明：EF∥平面PAB；

(2)若二面角P-AD-B为60°.证明：平面PBC⊥平面ABCD.

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明. 【解题过程】

(1)证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，所以MF1∥BC，且MF＝2BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD，又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB，而EF平面PAB，所以EF∥平面PAB. （2）证明：连接PE、BE.因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，所以PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P -

AD -B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝5，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝2，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60˚，由余弦定理，可解得PB＝3，从而∠PBE＝90˚，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD. 【答案】见解题过程. 13.如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边

△ADB以AB为轴转动．

(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；

(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．

【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明. 【解题过程】(1)取AB的中点E，连接DE，CE.

∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时，

∵平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE. 由已知可得DE＝3，EC＝1. 在Rt△DEC中，CD＝DE2-EC2＝2. (2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：

①当D在平面ABC内时，

∵AC＝BC，AD＝BD，∴C、D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又∵AC＝BC，∴AB⊥CE. 又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE. 由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD. 【答案】（1）见解题过程；（2）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明见解题过程.