3.3.4 两条平行直线间的距离教学设计方案

第三章

直线与方程

3.3.4

两条平行直线间的距离

淮南十中

陈

勇

一

教材分析

《两条平行直线间的距离》是人教A版数学必修二第三章最后一节的内容，求两条平行直线间的距离，可转化为求点到直线的距离。

点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容,它是解决点线、线线间的距离的基础,也是研究直线与圆的位置关系的主要工具。

点到直线的距离公式的推导方法很多,可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方法外,还有应用三角函数、应用向量等方法,因此“课程标准”对本节教学内容的要求是:“探索并掌握点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学,能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法,学会利用数形结合思想,化归思想和分类方法,由浅入深,由特殊到一般地研究数学问题,培养学生的发散思维根据本节课的内容特点,学习方法为接受学习与发现学习相结合,学生的探究并不是漫无边际的探究,而是在教师引导之下的探究;教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程,使学生在教师和其他同学的帮助下,充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。

二

课程目标与核心素养

课程目标

A.推导两条平行线间的距离公式；

B.会用距离公式解决实际问题. C.引导学生构思两条平行线间距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神。

核心素养

1.数学抽象：两条平行线间距离公式的推导方案；

2.逻辑推理：推导两条平行线间的距离公式；

3.数学运算：求两条平行线间的距离；

4.直观想象：将两平行线间的距离转化为点到直线的距离；

5.数学建模：将两平行线间的距离转化为点到直线的距离，提高学生的转化能力。

三

教学重难点

1.教学重点：两平行直线间的距离公式的推导、应用；线线距与点线距的转化；

2.教学难点：

两平行直线间的距离的求法及灵活应用。

四

教学过程

1.复***面内两点的距离公式与点到直线的距离公式

2.问题情境

思考

直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？

（点A，B，C到直线l2的距离分别为，，.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．）

3.新课

两条平行直线间的距离

(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长．

(2)图示：

(3)求法：转化为点到直线的距离．[来源:Zxxk.Com][来源学科网]

活动一

两平行线间的距离

例1

判断两条直线，解析：在其中一条直线上任取一点，如在

练习1;求下列两条平行直线间的距离. （1）

，. 与的位置关系，如果平行的话求出两条直线间的距离. . 上去一点,转化为到直线的距离.

（2），. |C1－C2|例2：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝A2＋B2.

练习2：

1.平行线

2.两平行线3x-2y－1＝0和6x＋my+2＝0平行，则它们之间的距离为____________．

6解析

由题意，得3＝和的距离为

，∴m＝-4，将直线6x-4y+2＝0化为3x-2y+1＝0，

由两平行线间的距离公式，得

. (2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________．

答案

2x－y＋1＝0 解析

设直线l的方程为2x－y＋C＝0，

|3－C||C＋1|由题意，得22＋12＝22＋12，解得C＝1，

∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 总结

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，|b1－b2|l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，|C1－C2|且C1≠C2时，d＝A2＋B2

.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

变式训练

(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；

解

设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

|C－6|由两平行直线间的距离公式，得2＝52＋(－12，

解得C＝32或C＝－20，

故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. (2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)两点，若l1与l2的距离为5，求两直线方程．

解

由题意知，两直线的斜率都存在，

设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2的距离为5，

|－k－5|5所以k2＋1＝5，解得k＝0或12. 所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. 活动二

有关两平行线间的距离最值

例2

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围；

(2)求d取最大值时，两条直线的方程．

解

(1)设经过A点和B点的直线分别为l1，l2，

l1⊥AB，显然当l2⊥AB时，l1和l2的距离最大，

且最大值为|AB|＝＝3，

∴d的取值范围为(0,3]．

(2)由(1)知dmax＝3，此时k＝－3，[来源学_科_网]

两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0. 总结

两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．

变式训练

已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( ) 33A．3

B.

C.2

D.2答案

D 解析

两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ||5－(－103＝62＋82＝2.

[来源学科网Z.X.X.K]

【课堂小结】

|Ax0＋By0＋C|1．应用点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)距离公式d＝A2＋B2的前提是直线方程为一般式．特别地，当直线方程A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解．

2．两条平行线间的距离处理方法有两种：

一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的化归转化思想．

|C1－C2|二是直接套用公式d＝A2＋B2，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此[来源学+科+网]时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同．

【课外作业】

第7,8题