2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学目标

基本不等式中“1的妙用”

一、考法解法

命题特点分析

此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式的值已知，求另一个代数式的最小值，其中两个代数式一个是整式axby，一个是分式会在此基础上进行变形。

解题方法荟萃

mn，当然xy

主要是凑出可以使用基本不等式的形式：二、典型题剖析

例题1：（1）已知x,yR，x2y1，求yxxy的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。

12的最小值；

xy12的最小值；

xy （2）已知x,yR，x2y3，求 （3）已知x,yR，322，求6x2y的最小值；

xy （4）已知x,yR，x2yxy，求x2y的最小值；

【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。

【答案】（1）12122x2y(x2y)()145249

xyxyyx12x2y即xy时取等号

3yx 当且仅当（2）1211212x2y1(x2y)()（14）（524）3

xy3xy3yx312x2y即xy时取等号

3yx 当且仅当

1

（3）6x2y=1323y6x()(6x2y)921862

2xyxy 当且仅当6x3y32+2即2xy时取等号

yx21212x4y1，然后x2y=(x+2y)(+)=48

yxyxyx（4）因为x2yxy，所以 当且仅当

x4y即x2y4时取等号

yx例题2：（1）已知x,yR，xy1，求12的最小值；

x1y3x2y2 （2）已知x,yR，xy1，求的最小值；

x1y1 （3）已知x,yR，xy1，求12的最小值；

2xyy312的最小值；

xyy3 （4）已知x,yR，2x3y1，求【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。

【答案】

（1）整式变形成x1y13，

121121y32(x1)22

(x1y3)()(12)1x1y35x1y33x1y33当且仅当y32(x1)=取等号

x1y3x2y2(x1)22(x1)1(y1)22(y1)111（2）

x12y12x1y1x1y1x1y1

2

111

x1y111的最小值

x1y112最小值

2xyy3然后求当xy1时，代数式（3）整式变形成2xyy35，求代数式（4）假设分式变形为(xy)2的形式，保证x的系数与y的系数之比等于整式中的系数之比，(y3)即222

=，=2，1,=2，分式变形为+32x2yy322的最小值。

2x2yy312x的最小值；

xy整式变形为2x2yy34，然后求例3：（1）已知x,yR，xy1，求 （2）已知x0,1，，求12的最小值；

x1x【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是2x的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式，y但仔细观察不难发现，其实分母之和为定值。

【解析】

（1）12xxy2xy2x2xy1122当且仅当时取等号

xyxyxyyx12的最小值

x1x（2）因为x(1x)1，然后求

三、达标与拓展

基础过关（第1—5题）

1．若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是（

）

A．2428

B．

C．5

D．6

55【解析】正数x，y满足x3y5xy，

3

311，

5x5y319412y3x1312y3x3x4y3x4y25，

5x5y555x5y53x5y当且仅当12y3x时取等号

5x5y即3x4y的最小值是5

【答案】C. 2. 已知x,y均为正实数，且x3y2，则2xy的最小值为 ．

xy【解析】试题分析：2xy121(x3y)()xyxy273y2x3y2x72xy7xy6，

2222x3y2x6172xy当且仅当3y2x即时，等号成立，即的最小值是6．

2xyxyy22323b0，若3是3a与3b的等比中项，则【例1】

3. 设a0，11的最小值为（

）

abA．8

B．4

C．1

D．【【解析】因为3是3a与3b的等比中项，所以ab1

1111ab()(ab)2224ababba【答案】B．

4．已知a0,b0,ab1,则

【解析】令abx（2ab)y（a3b)，解得x

1

411的最小值是__________.

2aba3b21，y

551111212ab(a3b)2aba3b552aba3b

3a3b22ab3a3b2(2ab)2552ab（5a3b）55(2ab)5(a3b)

4

3225

a3b22ab即a3b2(2ab)取等号.

52ab（5a3b）当5. 已知实数x，y满足4x2y23xy1，则2xy的最大值为 ．

【解析】实数x，y满足4x2y23xy1，

4x2y24xy1xy，

112xy2xy12xy1222，

22解关于2xy的不等式可得2xy214，

7故答案为：214．

7智能拓展（第6—10题）

6. 已知a0，b0，a2b1，则11取到最小值为 ．

3a4ba3b【解析】试题分析：令a2b(3a4b)(a3b)(3)a(43)b，∴1315，

43225∴111112312(a3b)3a4b()[(3a4b)(a3b)][]

3a4ba3b3a4ba3b55553a4ba3ba2b1322(a3b)3a4b322，当且仅当2(a3b)3a4b时，等号成立，

553a4ba3b53a4ba3b即

7.已知正数x,y满足xy1,则M11322的最小值是．

3a4ba3b511的最小值为

1x12y

5

【解析】M(11)[(1x)(12y)]4

1x12y则M11114，令t2x2y，即yxt1，

xyx(xt1)1恒成立，由022222x2y得222t222，M44222

2x2y22214y2z的最小值为 .

2yzxz8.

若正数x,y,z满足3x4y5z6，则【解析】14y2z163(xz)16=3

2yzxz2yzxz2yzxzab1，

32令2yza,xzb，则2(2yz)3(xz)3x4y5z2a3b6，即原式=()()31aba63b21b2a7

32ab39.已知x0，y0，且121，若2xym恒成立，则实数m的取值范围是

，当m取到xy最大值时x

.

【解析】恒成立问题，求2xy的最小值，即为“1的替换”

8，2；

答案为：，10. 在边长为1的正三角形ABC中，ADxAB，AEyAC，(x0，y0)且最小值等于 . 【解析】这是结合向量来解的一个题目，CDBE的最小值为

341，则CDBE的xy1126. 2

6