2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系ppt课件配套教案内容

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它教学

们的应用. 目标

3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 教学重、

难点

教学

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观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？

两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.

图1 教学过程

提出问题

①什么叫做异面直线？

②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？

⑤什么是空间等角定理？

⑥什么叫做两异面直线所成的角？

⑦什么叫做两条直线互相垂直？

活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

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讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明. ②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：

,有且只有一个公共点;相交直线:同一平面内共面直线

,没有公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点.异面直线:不同在任何一个平面内③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.

图2 ④组织学生思考：

长方体ABCD—A′B′C′D′中，如图1, BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？

通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a∥b,b∥ca∥c.

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用. ⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？

生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.

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图3 针对这个定义，我们来思考两个问题. 问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？

答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.

图4 问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？

答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广. ⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.

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图5 应用示例

例1 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

图6 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=同理，FG∥BD，且FG=1BD. 21BD. 2所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形. 变式训练

1.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH是菱形. 证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=1BD. 211BD,EF=AC. 22所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH为菱形. 2.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD，AC⊥BD.

求证：四边形EFGH是正方形. 证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，

所以EH∥BD，且EH=1BD. 211BD，EF=AC. 224 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=

所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形. 因为AC=BD，所以EF=EH. 因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH为两异面直线AC与BD所成的角.又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH.

所以四边形EFGH为正方形. 点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图7 (1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？

(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？

解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.

（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练

如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图8 （1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；

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(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.

解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，

∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.

（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，

∵△AD′C是等边三角形. ∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.

点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法. 课堂小结

本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点. 为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理. 作业

课本习题2.1 A组3、4.

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