复习参考题第一课时导学案

直线的方程教学教案

授课班级

课题

教

学

目

标

重点

授课时间

课型

复习课

授课人

朱琼芳

直线的方程

①学生应该掌握在什么样的情形下，可以得到什么样的方程，这样的方程的具体形式是什么。②学生应该掌握各种形式的方程之间的关系，会相互转化。③学生应该掌握某些特殊情况下，不能用以上形式的方程表示时，直线的方程要怎样表示。④学生应该掌握两直线处于特殊位置（平行和垂直）时，它们的方程之间有什么关系。⑤情感态度上，学生要有总结和融会贯通的习惯。

①对“在平面直角坐标系中，二元一次方程和直线一一对应”结论的理解。②推导直线各种形式的方程的过程，以及把这些直线方程联系起来的那根“线”。③掌握直线方程的各种形式，并能根据条件选择合适的方程形式求直线的方程。

难点

①直线方程的各种形式以及它们之间的关系，并能根据条件选择合适的方程形式求直线的方程。②特殊直线的方程要如何表示。③体会求直线方程的根本是点和斜率，不同的方程只是形式上的差别而已。

教具

多媒体

教学讲练结合法

方法

板直线的方程

书一、复习：

设计

点斜式方程斜截式方程两点式方程截距式方程

一般式方程

这一块黑板写上讲解例题时必要的图示和必要标注。

1

教学环

节

构建知识网

络

教学内容

教师活动

学

生

活

动

设计说

明

尽量让同学回忆起相关的知识点，并帮助同学构建知识网络，让学生掌握得更牢靠。

上一节课呢，我们把直线方程这一节内容全部学习完了。那学习完一个新内容，我们要进行及时的复习与总结。今天，我们就来复习直线的方程。直线是一个几何问题，方程是一个代数问题，我们是通过什么把这两者联系起来的呢？（答：平面直角坐标系）而和直线一一对应的方程是二元一次方程。通过原来的学习，我们知道在坐标系里要确定一条直线，至少要两个条件，直线上的一个点和直线的斜率，当斜率不存在时，直线和x轴垂直，方程为xx0。以此为基础，（问）我们在这一节中学习了哪几种直线方程？（学生回答）让我们一起来回顾一下它们的形式。首先，我们来看第一种方程：点斜式方程。顾名思义，这是已知一个点x0,y0和斜率k得到的直线方程，它的表达形式是yy0kxx0。反之，已知一条直线的方程是以上形式，就可以得出这条直线过x0,y0这一点，且其斜率为k。这个方程的形式yy0xx0推得，而

演示多媒体，列出重要的知识点，并引导学生回忆相关知识，提醒学生注意易出错的地方。

是由斜率公式kktan001800，倾斜角有两个特殊角度，当00时，k0，此时，yy00yy0。当900时，斜率k不存在，则直线与x轴垂直，此时直线方程为xx0，直线与x轴垂直时，斜率不存在，此时不能用点斜式表示。斜截式方程是已知直线的斜率和截距，而截距是指直线与y轴的交点的纵坐标。代入点斜式方程，并化简得到直线的斜截式方程可写成ykxb。注意，截距是一个坐标

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值，并不是这个点到原点的距离，截距有正有负。当k不存在时，直线和x轴垂直，又直线过点0,b，所以，此时直线为x0。下面，我们复习一下当两直线处于特殊位置时，它们的方程有什么关系？当两直线平行时，它们的斜率相等，截距不等；垂直时，斜率乘积为-1。当两者的斜率都不存在时，两直线都垂直于x轴，所以，它们平行或重合；当有一条直线的斜率不存在，一条的为0时，它们垂直。接着，我们又学习了直线的两点式方程，已知直线上两点x1,y1和x2,y2时，算出斜率y2y1，代入点斜式方程并化简得x2x1yy1xx1，但是这y2y1x2x1到直线的两点式方程为要求x2x1且y2y1。还要注意，对于这一形式，分子分母所减的坐标一定要一致。当x2x1时，直线方程为xx1，当y2y1时，直线的方程为yy1。所以，同学们要注意两点式不能表示与坐标轴垂直的直线。在两点式的基础上，我们又得到了截距式方程。截距式方程是已知两截距，即直线和x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标。把这两点代入两点式的表达式，并化简得截xy距式方程为1a0,b0。当a0,b0ab时，直线过点0,0和0,b，所以，直线方程为x0；当b0,a0时，直线过点a,0和0,0，所以直线方程为y0；当a0,b0时，直线过点0,0，此时直线方程表示为ykx。截距式方程要求要知道直线和两坐标轴的交点，那当直线平行于坐标轴时，就只和一个坐标轴相交，此时，直线就不能用截距式方程表示了。最后，我们学

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习了直线的一般式方程：AxByC0（A,B不同时为0）。为什么要求A,B要不同时为0呢？当方程变为c0，不能表示直线。A,B同时为0时，直线的一般式方程是一个二元一次方程的形式，而之前的每种形式的方程，以及那些特殊直线（和坐标轴垂直的直线）的方程都可以化为直线的一般式方程。所以，二元一次方程和直线是一一对应的。

一般式方程也可以化为其他形式的方程。分别令CCx0，y0，得到直线横过点0,，,0，BA斜率为A。由这些条件可得到，一般式化为点BAC斜式为yx0；化为斜截式为BBACx；化为截距式为BBxy1C0。

CCAB下面我们来看看当两条直线有特殊的位置关系时，方程的系数有什么关系？由一般式方程给出：

yl1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20,则1、当两直线的斜率都存在时，由两直线

平行，它们的斜率相等且截距不相等知：

l1//l2A1B2A2B10且A1B1C1或（对BCBC0A2B2C22112应系数所成比例相等，但不等于常数项的比例或交叉系数的乘积之差为0）；由两直线垂直时，它们的斜率之积为-1推知：l1l2A1A2B1B20（对应系数的乘积之和为0）。直线方程的应用很多，我们要灵活掌握方程的几种形式。已知直线方程，要能知道它所反映的直线的特点；已知一条直线的某些特点，要能根据这些特点选用合适的方程的形式，用待定系数法求解出方程。

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典例讲解

而这些方程之间的联系是：斜截式方程是点斜式方程的特例，两点式方程是在点斜式方程的基础上推得，截距式方程又是两点式方程的特例。而这些方程都可以和一般式方程进行转换，把这些形式的方程联系起来的这条线就是点和斜率。

复习完了基本知识，我们就趁热打铁，来看几个典型例题。

例题讲解：

讲解例题：1.（1）直线x2y21在y轴上的截距为边讲解边演ab示多媒体，并在黑板上（ ）。 画必要的图示辅助讲xy221解。

ab（解析：，所以，直线在y轴

xy1

22ab

上的截距为b2）（或令x0，求y的坐标）

（2）已知直线

l1:axy20,l2:(a2)xy10互相平行，

则a等于（ ）。

Aa

（解析：k,k1-a

B1a2

k2a2，l1//l2,

1

k1k2,即aa2a1）

2.过点A0，1作一条直线l,使它夹在直线

和间的线段l1:x3y100l2：2xy80

被A点平分，试求直线l方程。

(析：一般情况下，同学们都很容易想到设

出截距式方程，但这个方法是在斜率存在

的情况下，所以还要讨论斜率不存在的情

思考

况。为了避免这个讨论，我们采用另外的5

例题的安排由简到难，便于学生掌握；例题中尽量涵盖学生易出错的地方，提醒学生注意。

方法来解决。感兴趣的同学课后自主完成。

现在我们找一个突破口，A为直线和已知

两直线交点的中点，我们先设出这两个交

点，再利用中点坐标公式找出相关关系。) 解：设直线l分别交l1,l2于点Pm,n和Qa,b，则由A为PQ的中点及中点坐标公

式得am，b2n，即Q点的坐标为m,2n。由P在l1

上和Q在l2上，可得m3n100m4

，可得，P4,2。2mn60n2直线过A0,1和P4,2，由两点式得直线方程为y1x0。即直线方程为

2140x4y40

。

3.证明aR时，直线axya20必过定点。

证法一:将直线方程改写为点斜式，将a看成直线的斜率，即y2ax1 ，所以直线必过定点1,2。 axya20证法二：对于a取一切实数，都成立，那么，a取特殊值时也成立。

令a0，可得y20；令a1，可得xy30，解以上两个方程得x1,y2，代入直线方程，经验证，满

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足直线方程。所以，直线恒过定点1,2。

4.一条直线过点2,2，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程。

解:（析：和坐标轴相交围成三角形，说明两截距不为0，可采用截距式方程进行求解。）

设两截距分别为a,b，则直线方程为xy1，化简得bxayab，因为三角形ab

画图：

y面积为1，所以ab21,即ab2，将点0x2,2代入方程得2b2aab，联立以上两个方程可得，

只讲解其中一种方法，并给予适当提示让学生独立思考另外的方法，发散他们的思维，也避免了被动地灌输式教学。

2b2aaba2a1或ab2b1b2

2b2aabab2所以，直线方程为x2y2或-2xy2. 问学生还有其他方法吗？并给予适当的提示。（关键：与两坐标轴均有交点，斜率一定存在。不用讨论斜率的存在性。）

求解关于直线方程的问题的基本思想是“找总结并布置

标准，求参数”，即，首先要根据题目意思确定一作业

种合适的直线方程的形式，再根据已知条件求出相关参数。

特别的：处理直线和坐标轴相交构成三角形时，可优先考虑用截距式方程。

作业：

1．完成例4中的第二种方法。

2．用尽量多的方法求过P6,2，且在x轴小结及布置作业

总结相关知识，把一道综合性较强的题目留给学生，并让学生用尽量多的方法解决，培养它们独立思考和总结的能力，并让他们重新温习相关知识

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上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程。

点。

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