习题3.2ppt配套的教学设计及说课稿

直线的方程

课 题：总结直线的方程

教学目的：

1．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程

王新敞2．结合教学内容进行对立统一观点的教育

王新敞3．培养解决实际问题的能力

王新敞教学重点：汇总知识点

王新敞教学难点：常规解题思路的形成 王新敞授课类型：复习知识点课

王新敞课时安排：1课时

王新敞教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

王新敞知识梳理

1.直线的倾斜角、斜率

（1）直线的倾斜角

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.- 1 -

可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. （2）直线的斜率

倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）.倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）. （4）求直线斜率的方法

①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα. ②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且y2y1x1≠x2，则斜率k=.xx21

平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 2.直线方程的五种形式

（1）斜截式：y=kx+b. （2）点斜式：y－y0=k（x－x0）. （3）两点式：yy1y2y1xx1=xx21. xy（4）截距式：+b=1.

a（5）一般式：Ax+By+C=0. 例1 1.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，- 2 -

则m的值为

（

）

A.1

B.4

C.1或3

D.1或4 m4

解析

∵kMN=

=1，∴m=1. 2m2.经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（

）

A.（18，8），（4，-4）

B.（0，0），（

，1）

C.（0，-1），（3，2）

D.（-4，1），（0，-1）

解析

对A过两点的直线斜率

k

对B过两点的直线斜率

对C过两点的直线斜率

对D过两点的直线斜率

8(4)60,18473k0,303101(1)1k0.40221k10,30∴过D中两点的直线的倾斜角是钝角.

3.下列四个命题中，假命题是

（

）

A.经过定点P（x0，y0）的直线不一定都可以用

方程y-y0=k(x-x0)表示

B.经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）

的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)= (x-x1)(y2-y1)来表示

- 3 -

xy

C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程

1ab表示

D.经过点Q（0，b）的直线都可以表示为y=kx+b

解析

A不能表示垂直于x轴的直线，故正确；B

正确；C不能表示过原点的直线即截距为0的直

线，故也正确；D不能表示斜率不存在的直线

不正确. 4.如果A·C＜0,且B·C＜0,那么直线Ax+By+C=0

不通过

（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析

由题意知A·B·C≠0.

直线方程变为y=

- AAC

x

-

，

BBC

∵A·C＜0，B·C＜0，∴A·B＞0，

∴其斜率k=-

B

＜0,在y轴上的截距b=-

＞0, B

∴直线过第一、二、四象限.选C 5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴

围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为

.

解析

设所求的方程为

22

∵A（-2，2）在直线上，

∴







1

①

ab

xy1,ab- 4 -

又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，

12

∴

|a|·|b|=1

②

由①②可得

ab1ab1或(2).

由（1）解得

(1)ab2ab2

a2a1方程组（1）解得



或



，方程组（2）无解. 故

b1b2

即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.

答案

x+2y-2=0或2x+y+2=0 xyxy1或1，所求的直线方程为

2112例2 已知直线l过点P（-1，2），且与以A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.

解析

分别求出PA、PB的斜率，直线l处于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利用数形结合即可求

. 解

如图所示，直线PA的斜率

直线PB的斜率

2(3)kPA5,1(2)021kPB.3(1)2- 5 -

当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是［5，+∞）；

当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的1变化范围是

,2

1∴直线l的斜率的取值范围是

,5,.2例3 求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；

（2）

已知点A的坐标为(-4，4),直线l的方程为3x+y-2=0,求：直线l关于点A的对称直线l′的方程. （3）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 解

（1）

设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），

2∴l的方程为y=

x，即2x-3y=0. 3

xy1,若a≠0，则设l的方程为

ab

- 6 -

∵l过点（3，2），

∴

∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0, 321,aa综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. (2)在直线l′上任取一点P′(x,y)，

其关于点A(-4，4)的对称点(-8-x,8-y) 必在直线l上，即3(-8-x)+(8-y)-2=0，即3x+y+18=0，

所以所求直线的方程为3x+y+18=0. （3）由已知：设直线y=3x的倾斜角为

，

则所求直线的倾斜角为2

.

∵tan 

=3,∴tan 2 

2tan3.= 21tan43

4

又直线经过点A（-1，-3），

因此所求直线方程为y+3=

-即3x+4y+15=0. 三、思考题

1.已知线段PQ两端点的

坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l:x+ my+m=0与线段PQ有交点，求m的范围.

解

直线x+my+m=0 恒过A（0，-1）点. 12313111,则或2,

kAP=

=-2，

kAQ022m2m01

21m且m0.32

又m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，

∴所求m的范围是



2

≤m≤

3- 7 -

(x+1), 12

2.已知△ABC中，A（1，-4），B（6，6），

C（-2，0）.求：

（1）△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程；

（2）BC边的中线的一般式方程，并化为截距式

方程.

解（1）平行于BC边的中位线就是AB、AC中点

的连线.

因为线段AB、AC中点坐标为

所以这条直线的方程为

xy整理得：6x-8y-13=0，化为截距式方程为

1.131368

71(,1),(,2),221xy22,711222（2）因为BC边上的中点为（2，3），所以BC边上的中线

y4x1方程为



,

即7x-y-11=0, 3421

化为截距式方程为

xy1.11117小

结

- 8 -

1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k= y2y1

x

2



x

1，该公式与两点顺序无关，已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）

坐标（x1≠x2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1=x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直

线的倾斜角为90°. 2.求斜率可用k=tan

（

≠90°），其中倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分

割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.

3.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；

每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存

在斜率.

4.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系

数法. 5.重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线上设一任意点P（x，y），再找出x，y的一次关

系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求.

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