第四章 圆与方程（通用）优秀公开课教案

第四章圆与方程复习

整体设计

教学分析

本章在第三章“直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系．在直角坐标系中建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合．坐标法是贯穿本章的灵魂，在教学中要让学生充分地感受体验．

三维目标

1．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识．

2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题．

3．掌握平面直角坐标系中两点距离的求法，脱去绝对值的方法

4．通过本节的复习，使学生形成系统的知识结构，掌握几种重要的数学思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力．

重点难点

教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成．

教学难点：整理形成本章的知识系统和网络．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

同学们，我们前面学习了圆、直线与圆、空间坐标系等知识，那么我们具体学了哪些知识点，有哪些重要的思想方法，哪些知识高考常考，应形成什么样的理念呢？为此我们利用一节课的时间进行系统的整理，帮助同学们构建知识系统和网络，掌握解题的思路和方法．

推进新课

新知探究

提出问题

①圆的方程有哪几种形式？它们各自有什么特点？

②点与圆暍直、线与圆暍圆、与圆分别有什么样的位置关系？如何判断？

③如何用坐标法解决平面几何问题？

讨论结果：1，圆的方程有标准方程和一般方程，参数方程，已知直径两端点的方程四种形式．

圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.它给出了圆心位置和半径大小．圆的标准方程含有三个参数a、b、r，因此必须具备三个独立条件，才能确定圆的标准方程．

对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有当D2＋E2－4F＞0时才表示圆．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0也含有三个参变数D、E、F，因此必须具备三个独立条件，才能确定圆的一般方程．

2，圆与圆的位置关系有相离、相切、相交．判断方法有：

一是可以利用几何法，即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系．

二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况，解两个圆的方程所组成的二元二次方程组．若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离．

3，与圆有关的定理：

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦。

切线性质定理：

圆心与切点的连线与切线垂直。

4，用坐标法解决平面几何问题有三步曲：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

5，几何图形的重要性不可忽视。

应用示例

已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P轨迹为曲线C。

（1）求C的方程；

（2）L是与圆P,圆M都相切的一条直线，L与曲线C交与A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB| 活动：学生阅读题目，理解题意，相互交流或讨论，教师引导学生考虑解题的方法，注意总结，因为条件与两圆的位置有关系，发现定点，自然联想到椭圆或双曲线的定义。

设动圆半径为R ,PM=R+1,PN=3-R,满足了椭圆的定义，到两定点距离之和为定值。

点评：圆锥曲线的定义在高考中相当重要。

2 (

活动：学生先思考或讨论，回忆求最值的方法，教师及时引导，由椭圆的定义，性质发现焦点三角形，联想到隐含条件三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，找到隐含不等式，确定动圆半径的最大值。

PM-PN<2,等号成立时动圆的半径最大，确定动圆变为定圆，圆心坐标为（2，0），半径为2

点评：几何图形中的垂线段最短，三角形中隐含的不等式在解析几何中有举足轻重的作

用

活动：学生先思考或讨论，回忆求直线方程的方法，教师及时引导，首先选取恰当的点，根据直线与圆相切的性质，设出恰当的直线方程即可．

由图可知三角形QME相似三角形QPF,可得QM:QP=1:2,用数轴上两点距离公式表示QM,QP,设点Q(x,0)，求出点Q的坐标，再用切线性质求直线的斜率，确定直线的方程。

点评：求轨迹方程注意：

(1)设哪个点的坐标为(x，y)；

(2)求轨迹方程与求轨迹有区别，求轨迹方程得出方程即可，求轨迹得出方程后还要

指出方程的曲线是什么图形；

(3)求轨迹方程的方法有两大类——直接法和间接法．本题为直接法，将几何关系式直接

“翻译”为含x、y的方程，这是最基本最重要的方法．

活动：学生阅读，画出几何图形，可以多角度考虑解决问题的方法，发散思维，教师及时引导，利用待定系数法来解，充分考虑到弦长的求法．

直线方程代入曲线方程，消去一个变量整理为关于另一个变量的一元二次方程，求出两根之和，与两根之积，代入弦长公式。

点评：本题是方程思想的典例，方法较多，无论那种方法都是设出适当的未知数，

列出相应的方程求解，对这类问题设而不求，往往会收到意想不到的结果．

课堂小结

常常根据圆锥曲线的定义或圆锥曲线的几何性质确定圆锥曲线的标准方程，在此基础上，进一步通过解方程组，利用根与系数关系求解交点，弦长，中点，面积，距离，定值，定点及范围问题。解答时注意直线的斜率是否存在，如果不确定则需要分类讨论进行求解。

本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及求交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用．

作业

复习参考题

B组2、3、5、6. 设计感想

本节复习课是对已学知识进行归纳、总结，以形成更系统、更完整的知识体系；对已学知识进一步加深理解，强化记忆，是一个再认识、再学习的过程，对已掌握的技能、规律、方法进行深化和进一步熟悉，提高学生分析、理解问题的能力．以圆的方程与直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系和坐标法的复习来加深体会数与形的内在联系．变式训练在于考查、培养学生的应变能力，是否能抓住问题的本质举一反三；通过新旧知识联系，加强横向沟通，考查学生是否具有多角度思考问题，利用不同的方法解决问题的能力．在课堂上进行解题方法的讨论有助于活跃学生思维，促进发散思维的培养，提高思维灵活性，抓住数形结合的数学思想，总结解题规律，充分体现解析几何的研究方法．教会学生思想方法比教会学生解题重要的多．数学知识将来可能会遗忘，而数学思想方法会影响一个人一生．