1.2.3 空间几何体的直观图PPT配套教学设计内容

1.2.3 空间几何体的直观的教学设计

1教学目标

1．知识与技能：

（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

2．过程与方法：

学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

3．情感态度与价值观：

（1）提高空间想象力与直观感受。

（2）体会对比在学习中的作用。

（3）感受几何作图在生产活动中的应用。

2教学重点难点

重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图。

难点：能灵活地转换直观图与平面图

3教学过程

3.1

第二学时 教学活动

活动1【导入】

上节课我们已经学习了空间几何体的三视图，还记得上节课学了什么知识吗？

1. 提问：何为三视图？（正视图：自前而后；侧

视图：自左而右；俯视图：自上而下）

2. 讨论：如何在平面上画出空间图形？

3 . 引入：定义直观图（表示空间图形的平面图）.

观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图

形

活动2【讲授】

1.水平放置的平面图形的斜二测画法：

（1）讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论. 例1 用斜二测画法画水

平放置的正六边形的直观图。

（师生共练，注意取点、变与不变

→

小结：画法步骤）

画法：

①

如图1.2-10(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O。在图1.2-10(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点

O′，使

=450。

②

在图1.2-10(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′= MN。以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画

E′F′平行于x′轴，并且等于EF。

③连接A′B′，C′D′,D′E′,F′A′,并檫去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′（图1.2-10(3)）。

（2）给出斜二测画法的基本步骤：

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相

垂直的OX，OY，建立直角坐标系；

②画出斜坐标系，在画直观图

的纸上（平面上）画出对应的O′X′,O′Y′,使

=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

斜二测画法口诀：

平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现。

(3) 练习：用斜二测画法画水平放置的正五边形. (4) 讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板）

2. 空间图形的斜二测画法：

(1) 讨论：如何用斜二测画法画空间图形？

例2 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.

（师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变；

小结：画法步骤）

画法：

①画轴：如图1.2-12，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=450,∠xOz=900. ②画底面：以点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ= cm.分别过点M和N作y轴

的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，

D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. ③画侧棱：过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm长的线段AA′, BB′,CC′,DD′. ④成图：顺次连接A′,B′,C′,D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图。

（2）思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？

例3 如图1．2-13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。

分析：有几何体

的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体。它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。

画法：

①画轴：如图1.2-14(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=900。

②画圆柱的下底面：在x轴上取A,B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA=OB。选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点，使它为圆柱

的下底面。

③在Oz上截取点O′，使OO′等于正视图中OO′的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面。

④画圆锥的顶点：在Oz上截取点P，使PO′等于正视图中相应的高度。

⑤成图：连接PA′,PB′,AA′,BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图（图1.2-14(2)）

强调：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系。

（3）讨论：三视图与直观图有何联系与区别？

空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象，如美术中的立体图形。

活动3【练习】

1．下列说法正确的个数是(

) ①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形．

A．0

B．1 C．2

D．3 解析：选C.斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错．故选C. 2．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为(

) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．以上都有可能

解析：选C.用斜二测画法，原图的直角变成45°，直观图中的正△A′B′C′的角度是60°，60°＞45°，所以原图是钝角三角形．

3．关于斜二测画法的如下说法中不正确的是(

) A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度

不变

B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度

变为原来的一半

C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须

是45°

D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

解析：选C.此题由于习惯画法，可能许多学生认为C中的结论是正确的，忽视

∠x′O′y′也可以是135°. 4.如图所示，正方形ABCD在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的此正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为(

) A.

B. C．1

D. 解析：选B.点B′到x′轴的距离即A′到x′轴的距离，设其为d，而O′A′＝OA＝1，∠C′O′A′＝45°，∴d＝O′A′＝.故选B. 5．如图，已知等腰三角形ABC，则如下图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是(

) A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

解析：选D.由斜二测画法的规则可知：①错，因为图形毫无变化．②错，因为只有长度发生了变化，但角未发生变化．③④正确，其中③的坐标系夹角为135°，④的坐标系夹角为45°. 6.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(

) A．6 cm

B．8 cm C．(2＋3) cm

D．(2＋2) cm 解析：选B.原图可还原为平行四边形．

∴OA＝1，OB＝2，∴AB＝3，

∴周长为8. 7.如图为水平放置的△ABO的直观图，由图判断原三角形中AB、BO、BD、OD由小到大的顺

序为

. 解析：在原三角形中，AO＝5，BD＝4，BO＝5，OD＝3，

AB＝＝，

故OD＜BD＜AB＜BO. 答案：OD＜BD＜AB＜BO 8．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的________倍．

解析：原三角形中一边的高在直观图中长度减半，又高与底边的夹角变成45°，则直观图中的三角形的高为原三角形中的高的倍．而三角形底边的长度不变，所以三角形的直观图的面积是原三角形面积的倍．

答案：

9.如图所示，等腰直角三角形A′B′O′是△ABO的直观图，它的斜边O′A′=a，求△ABO的面积．

解：∵△O′B′A′为等腰直角三角形，其斜边O′A′＝a，

∴O′B′＝a，如图(1)．将直观图还原后的平面图形如图(2)．即为直角三角形，

其中∠AOB＝90°，直角边OA＝a，OB＝a，

∴S△AOB＝a·a＝a2. 10.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(

) A.

B. C.

D. 解析：选D.如图(1)和图(2)所示的实际图形和直观图，由图(2)可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝

，

所以应选D . 11.一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．

解：如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．

因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1. 又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形．所以E′C′＝. 再建立一个直角坐标系xBy，如图(2)所示，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝AB(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋. 活动4【活动】归纳

学生回顾斜二测画法的关键与步骤

活动5【作业】

1．书画作业:课本P17 练习第5题

2．课外思考: 课本P16，探究（1）（2）

1.2.3 空间几何体的直观图

课时设计

课堂实录

1.2.3 空间几何体的直观图

1第二学时 教学活动

活动1【导入】

上节课我们已经学习了空间几何体的三视图，还记得上节课学了什么知识吗？

1. 提问：何为三视图？（正视图：自前而后；侧

视图：自左而右；俯视图：自上而下）

2. 讨论：如何在平面上画出空间图形？

3 . 引入：定义直观图（表示空间图形的平面图）.

观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图

形

活动2【讲授】

1.水平放置的平面图形的斜二测画法：

（1）讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论. 例1 用斜二测画法画水

平放置的正六边形的直观图。

（师生共练，注意取点、变与不变

→

小结：画法步骤）

画法：

①

如图1.2-10(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O。在图1.2-10(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点

O′，使

=450。

②

在图1.2-10(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′= MN。以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画

E′F′平行于x′轴，并且等于EF。

③连接A′B′，C′D′,D′E′,F′A′,并檫去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′（图1.2-10(3)）。

（2）给出斜二测画法的基本步骤：

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相

垂直的OX，OY，建立直角坐标系；

②画出斜坐标系，在画直观图

的纸上（平面上）画出对应的O′X′,O′Y′,使

=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

斜二测画法口诀：

平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现。

(3) 练习：用斜二测画法画水平放置的正五边形. (4) 讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板）

2. 空间图形的斜二测画法：

(1) 讨论：如何用斜二测画法画空间图形？

例2 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.

（师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变；

小结：画法步骤）

画法：

①画轴：如图1.2-12，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=450,∠xOz=900. ②画底面：以点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ= cm.分别过点M和N作y轴

的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，

D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

③画侧棱：过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm长的线段AA′, BB′,CC′,DD′. ④成图：顺次连接A′,B′,C′,D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图。

（2）思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？

例3 如图1．2-13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。

分析：有几何体

的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体。它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。

画法：

①画轴：如图1.2-14(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=900。

②画圆柱的下底面：在x轴上取A,B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA=OB。选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点，使它为圆柱

的下底面。

③在Oz上截取点O′，使OO′等于正视图中OO′的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面。

④画圆锥的顶点：在Oz上截取点P，使PO′等于正视图中相应的高度。

⑤成图：连接PA′,PB′,AA′,BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图（图1.2-14(2)）

强调：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系。

（3）讨论：三视图与直观图有何联系与区别？

空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象，如美术中的立体图形。

活动3【练习】

1．下列说法正确的个数是(

) ①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形．

A．0

B．1 C．2

D．3 解析：选C.斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错．故选C. 2．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为(

) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．以上都有可能

解析：选C.用斜二测画法，原图的直角变成45°，直观图中的正△A′B′C′的角度是60°，60°＞45°，所以原图是钝角三角形．

3．关于斜二测画法的如下说法中不正确的是(

) A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度

不变

B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度

变为原来的一半

C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须

是45°

D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

解析：选C.此题由于习惯画法，可能许多学生认为C中的结论是正确的，忽视

∠x′O′y′也可以是135°. 4.如图所示，正方形ABCD在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的此正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为(

) A.

B. C．1

D. 解析：选B.点B′到x′轴的距离即A′到x′轴的距离，设其为d，而O′A′＝OA＝1，∠C′O′A′＝45°，∴d＝O′A′＝.故选B. 5．如图，已知等腰三角形ABC，则如下图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是(

) A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

解析：选D.由斜二测画法的规则可知：①错，因为图形毫无变化．②错，因为只有长度发生了变化，但角未发生变化．③④正确，其中③的坐标系夹角为135°，④的坐标系夹角为45°. 6.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(

) A．6 cm

B．8 cm C．(2＋3) cm

D．(2＋2) cm 解析：选B.原图可还原为平行四边形．

∴OA＝1，OB＝2，∴AB＝3，

∴周长为8. 7.如图为水平放置的△ABO的直观图，由图判断原三角形中AB、BO、BD、OD由小到大的顺

序为

. 解析：在原三角形中，AO＝5，BD＝4，BO＝5，OD＝3，

AB＝＝，

故OD＜BD＜AB＜BO.

答案：OD＜BD＜AB＜BO 8．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的________倍．

解析：原三角形中一边的高在直观图中长度减半，又高与底边的夹角变成45°，则直观图中的三角形的高为原三角形中的高的倍．而三角形底边的长度不变，所以三角形的直观图的面积是原三角形面积的倍．

答案：

9.如图所示，等腰直角三角形A′B′O′是△ABO的直观图，它的斜边O′A′=a，求△ABO的面积．

解：∵△O′B′A′为等腰直角三角形，其斜边O′A′＝a，

∴O′B′＝a，如图(1)．将直观图还原后的平面图形如图(2)．即为直角三角形，

其中∠AOB＝90°，直角边OA＝a，OB＝a，

∴S△AOB＝a·a＝a2. 10.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(

) A.

B. C.

D. 解析：选D.如图(1)和图(2)所示的实际图形和直观图，由图(2)可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝

，

所以应选D . 11.一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．

解：如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．

因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1. 又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形．所以E′C′＝. 再建立一个直角坐标系xBy，如图(2)所示，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝AB(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋. 活动4【活动】归纳

学生回顾斜二测画法的关键与步骤

活动5【作业】

1．书画作业:课本P17 练习第5题

2．课外思考: 课本P16，探究（1）（2）