3.2.2 直线的两点式方程课堂实录【3】

直线及其方程

导学目标：

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．

自主梳理

1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．

②倾斜角的范围为______________．

(2)直线的斜率

①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式：

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______________________. 2．直线的方向向量

→经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的一个方向向量为P1P2，其坐标为________________，当斜率k存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)．

3．直线的方程和方程的直线

已知二元一次方程Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)和坐标平面上的直线l，如果直线l上任意一点的坐标都是方程____________的解，并且以方程Ax＋By＋C＝0的任意一个解作为点的坐标都在__________，就称直线l是方程Ax＋By＋C＝0的直线，称方程Ax＋By＋C＝0是直线l的方程．

4．直线方程的五种基本形式

名称

方程

适用范围

点斜式

不含直线x＝x0

斜截式

不含垂直于x轴的直线

两点式

不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)

截距式

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

平面直角坐标系内的直线都适用

5.线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，x＝

，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．

y＝

，自我检测

11．(2011·银川调研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C2，m三点共线，则m的值为(

) 11A.

B．－

C．－2

D．2 222．直线l与两条直线x－y－7＝0，y＝1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，－1)，则直线l的斜率为(

) 3322A．－

B.

C.

D．－

22333．下列四个命题中，假命题是(

)

A．经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示

B．经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示

xyC．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程＋＝1表示

abD．经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y＝kx＋b 4．(2011·商丘期末)如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5．已知直线l的方向向量与向量a＝(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为(

) A．x－2y－1＝0

B．2x＋y－3＝0 C．x＋2y＋1＝0

D．x＋2y－3＝0 探究点一

倾斜角与斜率

例1

已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率．

变式迁移1

直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是(

) π0，

A.

B．(0，π)

2ππ0，π∪3π，π

－，

C.

D.4444探究点二

直线的方程

例2

(2011·武汉模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．

变式迁移2

求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．

探究点三

直线方程的应用

例3

过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：

(1)△AOB面积最小时l的方程；

(2)|PA|·|PB|最小时l的方程．

变式迁移3

为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB|＝100 m，|BC|＝80 m，|AE|＝30 m，|AF|＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？

探究点四

数形结合思想

例4

已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．

y＋3试求的最大值与最小值．

x＋2

变式迁移4

直线l过点M(－1,2)且与以点P(－2，－3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是(

) 22A．[－，5]

B．[－，0)∪(0,5] 5522ππC．(－∞，－]∪[5，＋∞)

D．[－，)∪(，5] 55221．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α<180°，熟记斜率公式k＝y2－y1，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点x2－x1的直线斜率，而x1＝x2，y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. y－y1x－x12．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求直线方y2－y1x2－x1程，但都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式．

3．使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·临沂月考)已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2) (m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是(

) ππ0，∪，π

A．(0，π)

B.42ππ，π∪π，π

0，

C.

D.44222．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(

) πππ，π

，

A.

B.6362πππ，π

，

C.

D.32623．点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么2x＋4y的最小值是(

) A．22

B．42 C．16

D．不存在

4．(2011·宜昌调研)点A(a＋b，ab)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过的象限是(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5．(2011·包头期末)经过点P(2，－1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为(

) A．2x＋y＝2

B．2x＋y＝4 C．2x＋y＝3

D．2x＋y＝3或x＋2y＝0 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直线l的倾斜角为45°，则m＝________. 27．直线x＋(a＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是________．

8．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________．

三、解答题(共38分) 9．(12分)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：

(1)直线AB的斜率k；

(2)求直线AB的方程；

3(3)已知实数m∈－－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的范围．

3

10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的范围．

11．(14分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0 (k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．

学案47

直线及其方程

自主梳理

y2－y11．(1)①正向

向上

0°

②0°≤α<180°

(2)①正切值

tan

α

②

2.(x2－x1，x2－x1y2－y1)

3.Ax＋By＋C＝0 y－y1x－x1xy直线l上

4.y－y0＝k(x－x0)

y＝kx＋b

＝

＋＝1(a≠0，b≠0)

Axy2－y1x2－x1abx1＋x2y1＋y2＋By＋C＝0(A、B不同时为0)

5.

22自我检测

1．A

2.D

3.D

4.C

5.D

课堂活动区

例1

解题导引

斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．

解

设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，

－2－－532tan

α3由题意可知：tan

2α＝＝，∴＝. 3－－141－tan2α4整理得3tan2α＋8tan

α－3＝0. 13解得tan

α＝或tan

α＝－3，∵tan 2α＝>0，

34∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan

α>0，

1故直线l的斜率为. 3变式迁移1

D

[直线xsin

α－y＋1＝0的斜率是k＝sin

α，

又∵－1≤sin

α≤1，∴－1≤k≤1. π0，，

当0≤k≤1时，倾斜角的范围是43π当－1≤k<0时，倾斜角的范围是4，π.] 例2

解题导引

(1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况．

(2)求直线方程常用方法——待定系数法．

待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．

100，和(0,8)，解

过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是

3显然不满足中点是点M(0,1)的条件．

故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程y＝kx＋1，组①

x－3y＋10＝0，y＝kx＋1，②

2x＋y－8＝0，

77由①解得xA＝，由②解得xB＝. 3k－1k＋2∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，

771即＋＝0，解得k＝－. 43k－1k＋2故所求直线方程为x＋4y－4＝0. 变式迁移2

解

(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，

2∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0. 3xy若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

aa32∵l过点(3,2)，∴＋＝1，

aa∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. (2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，

则所求直线的倾斜角为2α.

2tan

α3∵tan

α＝3，∴tan

2α＝2＝－. 41－tanα又直线经过点A(－1，－3)，

3因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

4即3x＋4y＋15＝0. 例3

解题导引

先设出A、B所在的直线方程，再求出A、B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值．

确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．

xy解

设直线的方程为＋＝1 (a>2，b>1)，

ab21由已知可得＋＝1. ab2121(1)∵2 ·≤＋＝1，∴ab≥8. abab1∴S△AOB＝ab≥4. 2211当且仅当＝＝，

ab2即a＝4，b＝2时，S△AOB取最小值4，

xy此时直线l的方程为＋＝1，

42即x＋2y－4＝0. 21(2)由＋＝1，得ab－a－2b＝0，变形得(a－2)(b－1)＝2，

ab|PA|·|PB| ＝2－a2＋1－02·2－02＋1－b2

＝[2－a2＋1]·[1－b2＋4] ≥2a－2·4b－1. 当且仅当a－2＝1，b－1＝2，

即a＝3，b＝3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 变式迁移3

解

如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，

xy∴线段EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．

3020

在线段EF上取点P(m，n)，

作PQ⊥BC于点Q，

PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，

则S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)．

mn又＋＝1(0≤m≤30)，

3020m∴n＝20(1－)．

302∴S＝(100－m)(80－20＋m) 3218 050＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．

33|EP|30－5∴当m＝5时，S有最大值，这时＝＝5. |PF|5所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大．

例4

解题导引

解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．

y＋3解

由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，x＋2y)的直线的斜率k，由图可知：

kPA≤k≤kPB，由已知可得：

A(1,1)，B(－1,5)，

4∴≤k≤8，

3y＋34故的最大值为8，最小值为. 3x＋2变式迁移4

C

[如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N. 2kMP＝5，kMQ＝－. 5当直线l从MP开始绕M按逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k≥5.当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，

π∵正切函数在(，π)上仍为增函数，

22∴斜率从－∞开始增加，增大到kMQ＝－，

52故直线l的斜率范围是(－∞，－]∪[5，＋∞)．] 5课后练习区

1．B

2.B

3.B

4.C

5.D

36．－2

7.[π，π)

8.x＋y－5＝0 49．解

(1)当m＝－1时，

直线AB的斜率不存在；(1分) 1当m≠－1时，k＝.(3分) m＋1(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1，(5分) 1当m≠－1时，AB的方程为y－2＝(x＋1)，

m＋12m＋3x即y＝＋.(7分) m＋1m＋12m＋3x∴直线AB的方程为x＝－1或y＝＋. m＋1m＋1(8分) π(3)①当m＝－1时，α＝；

2②当m≠－1时，

13∵k＝∈(－∞，－3]∪，＋∞，

m＋13πππ2π∴α∈6，2∪2，3.(10分) 综合①②，知直线AB的倾斜角

π2πα∈6，3.(12分) 10. 解

直线x＋my＋m＝0恒过A(0，－1)点．(2分) －1－1kAP＝＝－2，

0＋1－1－23kAQ＝＝，(5分) 20－2131则－≥或－≤－2，

m2m21∴－≤m≤且m≠0.(9分) 32又m＝0时直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，

21∴所求m的范围是－≤m≤.(12分) 3211．(1)证明

直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，

x＋2＝0x＝－2令，解之得，

1－y＝0y＝1∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分) 1＋2k(2)解

由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，k

1＋2k－≤－2k要使直线不经过第四象限，则必须有，解之得k>0；(7分) 1＋2k≥1当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.(9分) 1＋2k(3)解

由l的方程，得A－，0，

k1＋2k－<0，kB(0,1＋2k)．依题意得

1＋2k>0，解得k>0.(11分) 1∵S＝·|OA|·|OB| 211＋2k＝··|1＋2k| 2k2111＋2k11＝·＝4k＋k＋4≥2×(2×2＋4)＝4，

2k21“＝”成立的条件是k>0且4k＝，

k1即k＝，

2∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.(14分)