习题4.1优质课一等奖

必修2习题4、1（圆的方程）教学设计

一、教学设计思路

1、通过上一章的学习同学们知道了直角坐标系在直线中的应用，本章在直角坐标系中建立圆的方程，通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。圆的方程把曲线方程的理论进一步深化，是解析几何解题方法与思想方法的先导。通过方程研究圆，圆的几何特征得到定量化的描述，这是“数形结合”思想的完美体现。也为后面圆锥曲线的学习奠定了基础。

2、在讲授4.1的过程中发现学生由数到形的形成过程掌握较好，由形到数的思维打不开，尤其是利用定义求轨迹方程这一点不够灵活，所以本节课我努力做到以下几点：在课堂活动中通过同学之间的合作与自主探究，培养学生积极主动、勇于探索的学习方式；在教学过程中努力做到生生对话、师生对话且在对话之后重视体会、总结、反思力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握学习研究数学的方法；通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

二、教学目标与重点难点

1、教学目标：

巩固确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程和一般方程；

在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想；

通过自主探索，让学生经历并渗透数形结合的数学思想；

④让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，激发学生学习兴趣。

重点难点：在平面直角坐标系中探索圆的方程，帮助学生不断体会“数形结合”的思想方法

三、教学方法：合作探究、多媒体辅助

四、教学过程

1、学生纠正错误

能力自测：1、求下列各圆的圆心坐标和半径长。

x2+y2-2x-5=0 圆心_______，半径_________.

x2+y2+2x-4y-4=0 圆心_______，半径_________.

x2+y2+2ax=0 圆心_______，半径_________.

④x2+y2-2by-2b2=0 圆心_______，半径_________. 2、求下列各圆的方程。

圆心为点C（8，-3），且过点A（5，1）；

过A（-1，5），B（5，5）C（6，-2）三点；

圆心在直线l:x-2y-1=0上，并且经过原点和A（2，1）

④圆心在x轴上，并且过点A（-1，1）和B（1，3）

⑤（高考链接)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(

) A．26

B．8 C．46 D．10 【设计思路】本环节主要是让学生对能力自测这一部分进行自救自查自改，然后与同学交流得失，讨论解决问题的方法，剖析出错原因.通过反思摸索出解题的规律，掌握解题方法，总结出求圆的方程的两种方法。这一环节，要以学生为主体，学生应参与到教学的每一个环节中来：学生要参与分析错误的原因。

2、培养学生的几何思想

一、求轨迹方程

1、等腰三角形的顶点A的坐标是（4，2），底边一个端点B的坐标是（3，5），求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形。

2、长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中点的轨迹方程。

3、（拓展1）过原点0作圆x2+y2-8x=0

的弦OA 求弦OA中点M的轨迹方程；

延长OA到N使OA=AN，求N点的轨迹方程。

4、（拓展2）已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P为圆上的动点，求线段AP中点的轨迹方程。

5、（拓展3）已知直线l过点（1，0），过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为A，P为OA的中点，求点P的轨迹方程。

【设计思路】这几个题实际都在在考察圆的定义，考差学生的几何眼光和灵活处理问题的能力同时也让我们感受数形结合思想的魅力，还可以对下一步学习椭圆、双曲线和抛物线奠定画图研究问题的基础。讲评中对典型错误要重点分析出错原因，找到症结所在。教师可以有意识地用提问的方式，将典型错误的思维过程暴露出来，引导大家共同探索纠正的方法.。

6、已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为方程。

变式1：一条线段AB（AB=2a）的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的三等分点M（AM=2MB）的轨迹方程。

变式2：已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为λ（λ>0）探求点M的轨迹；若轨迹是圆，求出它的方程。

7、（能力提升）已知非零向量MA,BM满足MA=λBM若平面内动点P满足PM为∠APB的角平分线，设动点P的轨迹长度为L，若对于任意的λ≥2，L≤aAB1，求点M的轨迹2

恒成立，则实数a的最小值为（ ）

A、3π4π2π3 B、 C、 D、

4334【设计思路】这几个题是对圆的方程的进一步探索，从特殊到一般研究满足到两1)的点的轨迹是圆，以此提高学生对知识的升华和整定点距离比值为常数λ(λ≠体把握.对典型题目的讲解要做到：一是讲解法的发现过程，如何读题、如何寻找解题的切入点、解法探索；二是讲如何规范表述解题过程；三是深入挖掘典型试题的潜在功能. 积极引导学生参与到讲评过程中，尽量多地让学生发言，以暴露其思维过程，以对其他学生起到警戒、示范作用. 具体的方法有：错误让学生“改”、思路和解法让学“讲”、解题过程让学生板演、学生之间相互讨论. 对新题型和一题多解介绍给学生，使学生的解题思路更广阔. 对学生中出现的新思路、新解法、同一题目的不同解法及不同解法的优劣选择，不论是否合理和正确，教师都要给以恰当的评价，使学生能理解和尝试学习新思路. 4、反思总结

本节课内容较多估计一节课完不成，但是剩下有关λ的可以留给学生课后探索，激发学生的探索欲提高学生的学习兴趣。课后要求学生通过本节课的学习，通过与同学的交流讨论，通过听老师的讲解与分析，反思、总结自己解题中出现的问题及症结，在此基础上对错题进行二次重做。没有反思，解题过程不会得到消化、复习效果不会得到巩固.总结的过程，就是学生认识水平和能力提高的过程.教师要善于引导学生反思、回顾和总结，概括本节课要点，归纳解题方法，并强调注意问题. 五、本节课的设计导图：PA=R

标准方程

x2+y2=r2

圆

PA=λ(λ≠1)

PB一般方程

(x-a)2+(y-b)2=r2

线段AB的垂直

平分线

以定比λ内分点P和外分点Q为直径的圆。

λ=1

λ≠1