1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）优秀完整教案

《利用长方体研究三棱锥的外接球》教案

卢龙县中学

马建茹

【教学目标】

1、使学生掌握割补法，把已知的几何体巧妙的分割或补成特殊几何体

2、使学生能够灵活运用所学的特殊几何体巧妙求出三棱锥的外接球半径（表面积、体积）

【教学重难点】

教学重点：运用所学的特殊几何体巧妙求出三棱锥的外接球半径（表面积、体积）

教学难点：掌握割补法，把已知的几何体巧妙的分割或补成特殊几何体

【教学过程】

（一）新课导入

长方体是空间图形中特殊且内涵丰富的几何体，采用构造长方体的方式去处理一些球与三棱锥的组合体问题，往往能达到化难为易、化繁为简的效果．

（一）讨论探究

⑴探究如何求长方体的外接球半径。

⑵小组成员动手操作，在长方体中任取四个不共面的点，构造出不同的三棱锥

⑶小组讨论，能够有多少种不同的三棱锥，探究发现每种三棱锥的线线关系，线面关系，并进行总结归类。

（二）例题探究

1、利用垂直构造长方体

因为长方体从同一顶点出发的三条棱两两垂直，所以若一个三棱锥的侧棱两两垂直，可将这三条侧棱作为长方体从同一顶点出发的三条棱补成长方体。

例1已知球面上有四个点P,A,B,C，如果PA,PB,PC两两互相垂直,且PAPBPCa，求这个球的表面积和体积．

解析：因为PA,PB,PC两两互相垂直，所以以共顶点P的三条棱PA,PB,PC能补成

正方体，且此正方体内接于球，从而正方体的体对角线长即为球的直径．所以2R3a，R3a

，2S球3a2,V球33a．

2请同学们思考：①若平面PAB、平面PBC、平面PCA两两互相垂直，其它条件不变，求这个球的

表面积和体积．（“平面PAB、平面PBC、平面PCA两两互相垂直”等价于“PA,PB,PC两两互相垂直”）

②三棱锥PABC中，三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，若空间一点O到四个顶点P,A,B,C的距离相等，则这个距离的数值是（

）．

a2b2c2（满足题意的点O就是三棱锥PABC的外接球的球心，答案是）

22、一棱垂直与直角底面构造长方体

D例2、如图1，已知球O的面上四点A,B,C,D，DA平面ABC，ABBC，ADA1,AB1,BC3，求球O的体积．

C如图1BD解析：虽然本题不存在一个顶点上两两互相垂直的三条棱，但注意到DA平面ABC，ABBC，仍可将其补成长方体（如图2），由题意，它

AC555内接于球O．易求球的半径R，V球．

26如图2B评注：不但具有线面垂直关系的三棱锥可以补成长方体，某些具有线面垂直关系的四棱锥也可以补成长方体．

问题升华：一棱垂直与底面，底面不是直角三角形，是否可以补成长方体，如果不能，如何找到外接球球心，如何求外接球半径？

例3、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为_______．

（思路）构造直三棱柱

3、对棱相等的三棱锥构造长方体

因为长方体向对面的对角线长度相等，所以在遇到对棱相等的三棱锥时，以相等的对棱当作长方体相对面的对角线将其补成长方体．

（思考）正四面体是特殊的对棱相等的三棱锥，所以可以补成正方体求外接球半径

例4、

将例1中“PA,PB,PC两两互相垂直”改为“PA,PB,PC两两所成角均为60”，其它条件不变，求这个球的表面积和体积．

解析：由题意，得三棱锥PABC是正四面体（如图3），当然有PABC，PBAC，PCAB，以如图3CPPAABBC如图4PA,BC.PB,AC,PC,AB分别为面对角线构造正方体（如图4）,它必内接于球O．设正方体棱长为x，则a2x，x3263266a．

a，体对角线长为a，球的半径为Ra，Sa，V2822441，PCAB5，求这个球的例5、设三棱锥PABC中，PABC34，PBAC表面积和体积．

解析：以PA,BC.PB,AC,PC,AB分别为面对角线构造长方体（类似于图4），设长方体一个顶点上x2y234的三条棱长分别为x,y,z，则y2z241，三式相加除以2，得体对角线的平方为50，，易求外接球的z2x225半径为R521252，S50，V．

23（三）课堂小结

学生归纳总结特殊三棱锥的外接球半径的求法：

1、利用垂直构造长方体

一个三棱锥的侧棱两两垂直，可将这三条侧棱作为长方体从同一顶点出发的三条棱补成长方体。

2、一棱垂直与直角底面构造长方体

一棱垂直与底面可以补成长方体或直三棱柱

3、对棱相等的三棱锥构造长方体

对棱相等的三棱锥可以相等的对棱当作长方体相对面的对角线将其补成长方体．

（四）限时训练

1．已知三棱锥P—ABC的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为1，则该三棱锥外接球的表面积是 。

在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为

2．如图，在平行四边ABCD中，ABD90,2ABBD4,若将其沿BD折成直二面角

A-BD-C,则三棱锥A—BCD的外接球的体积为_______. 22

3、如图,AB为圆O的直径,点C为圆O上异于A、B的一点，PA⊥平面ABC，点A在PB、PC上的射影分别为点E、F.

⑴求证：PB⊥平面AFE；

⑵若AB=4，PA=3，BC=2，求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球（即点P、A、B、C都在此球面上）的体积之比.

A P E F O C B （五）、课后反思

这里使用构造法的思路源于几何体特殊的线面位置关系和度量关系，以及长方体的中心就是其外接球的球心．当然，我们在领略美妙的解题过程时，还要了解所用技巧的思想根源，以期提高同学们的观点和对问题认识的高度．另外，这种方法也可以推广到球与其它的内接多面体，如正三棱柱的上、下底面中心连线的中点就是其外接球的球心．其次，构造法是数学的一种重要思想方法，同学们可通过加强灵活运用构造法的指导和训练来培养自己的创造能力．