3.3.1 两条直线的交点坐标教案1

3.3.1 两条直线的交点坐标教学活动设计

【教材说明】

《两条直线的交点坐标》是人教A版2003课标版必修二第三章直线与方程第三节第一节课，其主要内容是讲方程组解的个数与直线平行、相交、或重合的对应关系，联立方程，解方程组，理解方程组的解与两直线的位置关系.本节课是学生学习了直线方程之后，对直线数与形的构建又一深入探讨.通过本课的学习能使进一步培养学生的数形结合能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力。

【学情分析】

学生在知识上已经掌握了直线的倾斜角与斜率，直线的方程的五种表示形式，两条直线平行与垂直的判定，在直角坐标系中能准确的画出直线；并在前面的知识学习中，能熟练的求出直线的方程，在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合等数学思想。

【教学目标】

1.知识与技能：

（1）通过推导，了解两条直线交点坐标的求法；

（2）理解直线的位置关系与交点个数的关系；

（3）会求利用二元一次方程组的解的情况来判断直线和直线是否相交，并能熟练地求出交点；

（4）会利用过定点的直线系解决实际问题. 2.过程与方法：通过实例初步了解两条直线交点坐标的求法，通过探究深入理解直线的位置关系与交点个数的关系，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.

3.情感态度价值观：

（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）感受用代数方法研究几何问题的方便，增强学习解析几何的信心；

（3）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想. 【重点难点】

1.教学重点：了解两条直线交点坐标的求法

2.教学难点：会利用过定点的直线系解决实际问题.

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【教学策略与方法】

1、问题引入，打开知识缺口：当学生进入到教师预设的问题中，把学生领进学***门”，对即将学习的知识产生好奇心，问题引入能点出了学习的重点，明确了学习的目标，从而使学生的思维指向更为集中；

2、问题解决

第一步，复习回顾：引导学生在旧知识里用新的角度发现问题，从而提出问题，类比生活中的经验，推理并尝试解决问题。

第二步：给出方法，提供学生依据，如何运用方法来验证自己的推测是否正确，引导学生自己解决问题；

3、知识运用及反馈

在问题解决的过程中不断深化知识结构；

4、归纳总结

【教学过程】

学习领域

主题名称

设计教学

两条直线的交点坐标

3.3.1两条直线的交点坐标

林世伟

教材来源

教学对象

教学时间

人教版必修二第三章

高一级

40分钟

（一）导入新课

与学生一起欣赏一段2018年俄罗斯世界杯的一场点球大战. 重点引导学生注意守门员为什么能扑出点球？

思路1.由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法. 思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. （二）推进新课、新知探究、提出问题

讨论下列二元一次方程组解的情况: xy10　xy10xy10123

xy10 xy10xy10思考1

直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？

思考2

已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？

思考3

由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？

讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.

2

几何元素及关系

点A 直线l 点A在直线上

直线l1与l2的交点A 代数表示

A(a，b) l：Ax+By+C=0

②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. A1xB1yC10,方程组



的解

A2xB2yC20一组

一个

无数组

重合

零个

直线l1与l2的公共点的个数

直线l1与l2的位置关系

（三）应用示例

例1 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：

(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；

(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；

(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. [思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．

2x＋y＋3＝0x＝－1[解析]

(1)解方程组，得，所以直线l1与l2相交，x－2y－1＝0y＝－1交点坐标为(－1，－1)．

x＋y＋2＝0

①(2)解方程组，①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．

2x＋2y＋3＝0

②所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. x－y＋1＝0

①(3)解方程组，①×2得2x－2y＋2＝0，因此，①和②2x－2y＋2＝0

②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线．所以两直线重合．

『规律方法』

两条直线相交的判定方法：

(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；

(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．

3

变式训练1:判断下列各组直线的位置关系

l:2xy70l:x2y10l:xy10 (2)1 (3)1

(1)1l2:xy10l2:2x4y20l2:xy10变式训练2: (1)直线y＝2x与直线x＋y＝3的交点坐标是__(1,2)__．

(2)．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(

B

) A．(3,2)

B．(2,3)

C．(－2，－3)

D．(－3，－2) 例2 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．

2x－3y－3＝0[解析]

由方程组，解得x＋y＋2＝0∵所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，

73∴直线l的斜率k＝－3，根据点斜式可得y－(－5)＝－3[x－(－5)]．

即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0. 引申探究

本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．

变式训练3:求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5=0平行的直线方程. 变式训练4:直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(

) A．2x＋y＝0

B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0

D．x－2y＝0

3x＝－57y＝－5

. 2x＋3y＋8＝0x＝－1[解析]

解法1：由解得

x－y－1＝0y＝－2∴kl＝2.∴l的方程为y＋2＝2(x＋1)，即2x－y＝0. 解法2：设l：2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0.

∵l过原点，

∴8－λ＝0，∴λ＝8，

∴l方程为2x－y＝0. （四）学科核心素养

直经方程的设法技巧与直线系方程

直线方程中含有参数时，由于参数的变化，方程表示不同的直线，当参数取遍所有实数时，方程表示一族平行或过定点的直线．

4

(1)已知l：y＝kx＋b，与l平行的直线方程设为y＝kx＋b1；与l垂直的直线1方程设为y＝－kx＋b1(k≠0)．

(2)已知l：Ax＋By＋c＝0，与l平行的直线方程设为Ax＋By＋C1＝0，与l垂直的直线方程设为Bx－Ay＋C2＝0. (3)过定点P(x0，y0)的直线方程(斜率存在时)可设为y－y0＝k(x－x0)．

(4)与x轴交于点(x0,0)的直线方程可设为x＝my＋x0. (5)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2相交于点P，则过点P的直线方程设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2)．

(6)斜率为k的直线方程设为y＝kx＋b. (五）作业

课本习题3.3 A组1、2、3,选做4题.

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