3.3.4 两条平行直线间的距离主要内容及教案内容

3.3.3点到直线的距离

3.3.4两平行线间的距离

一、

教学分析 前面已经学过相关知识，两点间距离公式，直线的倾斜角，斜率及直线方程的各种形式，直线间关系判断的依据，学生经历了建立这些公式，解决这些问题的过程，积累了一定的用坐标法解决问题的经验与数形结合的方法，为点到直线的距离公式的推导提供了必要的基础知识，在公式推导及应用过程中，继续渗透坐标法和数形结合的思想方法，进一步培养学生转化和化归的能力，逐渐内化为学生的基本素质，为学习圆的方程做好准备。

二、教学目标

1、知识与技能

掌握点到直线的距离公式的推导及应用

掌握两平行线间的距离公式

2、过程与方法

通过把斜线段长度问题转化为两条平行于坐标轴的线段长度问题，两平行线间的距离转化为点到直线的距离，体现了“化归”的思想方法，培养学生运用数学语言的能力，分类讨论及数形结合的能力，使学生学会多角度地分析问题，能选择恰当地解决问题的方法

3、情感、态度和价值观

重视数学公式的形成过程，训练学生勇于探索的意志品质，养成严谨的科学态度和求简的数学精神，认识事物之间的相互转化，学会用联系的观点看问题

三、教学重难点

教学重点：点到直线的距离公式的应用

两平行线间的距离公式

教学难点：点到直线的距离公式的推导

四、教学方法

以问题为主线，组织学生探究，例练讲解，整理归纳，加强自主学习，运用思维变式，着重能力提升

五、教学过程

1、复习回顾 两点间的距离公式

若P121x1,y1P2x2,y2则PPx1x2y1y222

2、新课探究一

如何求点p0到直线的距离？即如何用x0、y0、A、B、C来表示这个距离

问题1

点到直线的距离的含义是什么？

是点到直线的垂线段的长度

问题2

在直角坐标系中，若已知点P0的坐标和直线l的方程，那么点P0到直线l的距离是否确定？

确定

问题3

若点P在直线l上，则点P到直线l的距离是多少？

若直线平行于坐标轴，则点P到直线l的距离怎么求？

当直线l垂直于X轴，即B=0 直线l的方程为

CCdxx0A

A

当直线l垂直于Y轴，即A=0 直线l的方程为

yCCdy0B

B

问题4

若直线l既不垂直于X轴，又不垂直于Y轴，直线l外一点P到直线l的距离怎么求？

分析问题，提出解决方案，理清思路，画出框图

方案一

要求PQ只要求出点Q的坐标，而Q是直线l与直线PQ的交点，直线l已给出，只要先求直线PQ的方程，已知直线PQ经过点P，因此只要求出直线PQ的斜率，而直线PQ与直线l垂直，

直线l的斜率可以求出，因此可先求直线l的斜率。思维导图如下

评价反思这一方法，分析引导说明课本中的方法的发现过程

方案二

结合建立两点间距离公式的过程，首先，求出两条与坐标轴平行的线段的长度,然后利用勾股定理求出这两点间的距离，思维导图如下

解：设

，

则直线L与x轴和Y轴都相交，过点P0分别作x轴和y轴的平行线，交直线L于R和S

y=y0

x=x0

由

得

（

）

由

得S（x0 ,

）

Ax+By+c=0

Ax+By+c=0 则

故

设

由三角形面积公式可得

=

d

所以

当A=0或B=0时，上述公式仍然成立。

结论：点P0(x0,y0)到直线

(A、B不同时为0)的距离

在推导过程中，使学生在知识能力意志品质等方面得到了提高发展

3、例题讲解

例1

求点P(-1,2),到下列直线的距离

（1）

（2）

（3）

例2

已知点A(1,3)

B(3,1)

C(-1,0)

求三角形ABC的面积

可采用学生板演，集体评价的方式，通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离的理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性，加强数形结合的运用能力。

4、应用练习

1、求过点M(-1,2)，且与点A(2,3), B(-4,5)的距离相等的直线的方程

解法一：当过点 的直线L的斜率不存在时

L：x=-1 此时满足题意

当过点 的直线l的斜率存在时

设L：

即

由

得

则L：

即

综上所述，直线L的方程为x=-1或

解法二

：由题意可知L//AB或L过AB的中点

当L//AB时，设直线AB的斜率为K1，直线L的斜率为K2

此时L：

当L过AB的中点（-1，4）时，易知L：x=-1 综上所述，直线L的方程为x=-1或

2、已知实数x,y满足

求

的最小值

解：

上式可看成是一个动点M（x,y）到定点N（0,1）的距离，即为直线6x+8y-1=0

上点任意一点M(x,y)到定点N(0,1)的距离，

即求点N到直线L的距离

5、

反思与感悟

一 应用点到直线L的距离公式时应注意三个问题

1 直线方程应为一般式

2 点P在直线上时，公式仍然成立

3 直线方程

l:AxByC0当A=0或B=0时，公式也成立，但由于位置特殊，也可用数形结合求解

二、

直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离

三 理解式子的几何意义，讲“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性解决

6、新课探究二

两平行线间的距离公式

)

已知

(A、B不同时为0且求

与

的距离

思考1

两条平行线的相对位置关系常通过举例来反映，两平行直线间的距离

的含义是什么？

夹在两平行直线间公垂线段的长度

思考2

你有什么办法求两条平行直线之间的距离？

转化为点到直线的距离，其中一条直线上任意一点到另外一条直线的距离

思考3 你能推出两平行直线间的距离公式吗？

设P0(x0,y0)为直线

上任一点，则点P0(x0,y0)到直线

的距离为d

7、例题讲解

例1

已知直线

与

是否平行？若平行，求

与

间的距离

解：

∵

∴

//

一：

与x轴的交点A（4，0）则点A到

的距离

∴

与

间的距离为二： 直线

可化为6x-21y-24=0由两平行线间的距离公式可得

∴

与

间的距离为

8、应用练习

1、求与直线

平行且到l的距离为2的直线方程

2、已知点P、Q分别是直线

与

上的动点，

求PQ的最小值

9、反思与感悟

1、

两条平行线间的距离可以看作是一条直线上的任意一点到另一条直线

的距离，也可以看作是这两条直线上各取一点的最短距离

2、求两条平行线间的距离一般是直接利用公式，

当

且

与

间的距离为

必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等

10、课堂小结

点到直线的距离公式的推导

点到直线的距离公式的应用

两平行线间的距离公式的推导及应用

11、布置作业

习题3.3

A组

9,10

B组

2,4