信息技术应用 图形技术与函数性质优质公开课教案

三次函数的性质（教案）

数学组

王婧

课题分析：

“三次函数的性质”并不是教材中所要求的内容，但在每年的高考题中却屡见不鲜，这样的命题导向，实际上是希望学生通过初中、高中六年的学习，对函数的知识有一个整体的把握，能利用所学的函数知识和研究函数的技能，去研究任意的初等函数的性质。我们的国家和民族，需要的并不是通过死记硬背来机械化掌握现有知识的机器，而是懂得举一反三、探究未知领域的人才。这就要求我们的教学工作，应当注重教会学生研究问题的方法，而不是解决问题本身。正所谓“授人以鱼不如授人以渔”。

学情分析：

1、优势：学生在此之前已经研究过指数函数、对数函数、幂函数和三次函数的性质，因此能够很快将关注点放在研究函数的工具，即图象上来，并且能清晰认识到自己需要研究哪些性质。在第一轮复习已经结束的情况下，学生对于导函数的运用已经比较灵活，解决单调性和极值问题易如反掌。

2、劣势：学生在此之前并未学过求对称中心的方法，所以，此处只能采用“大胆猜想，小心求证”的方式。但是对称中心的证明过程，对学生的逻辑思维能力和计算能力都要求较高，就本班的学情而言，能完成证明全过程的学生较少。

教学目标：

1、掌握三次函数的一般式，理解三次函数的图象应有四种情况

2、理解a,的正负，对图象的影响，即对单调性的影响

3、能通过观察，猜想出三次函数的对称中心，理解对称中心的证明过程

4、经历研究三次函数性质的全过程，体会自主探究的快乐。通过这节课的活动，能知道以图象作为研究工具，知道应该研究函数的哪些性质，知道研究每一种性质的具体方法。

教学重点：

1、三次函数的单调性和对称中心的研究

2、学会研究函数的方法

教学难点：

三次函数对称中心的研究

教学过程：

（一）温故知新

1、类比二次函数，得出三次函数的一般式。这是研究三次函数的准备工作

2、类比之前研究函数的方法，引导学生：“运用什么作为工具来研究函数？需要研究三次函数的哪些性质？如何研究？”

3、用现代教育技术，作出四种三次函数的图象，使学生的研究更完整。

4、明确指出需要研究的性质：定义域、值域、单调性、极值、奇偶性、对称中心。使学生的研究具有明确的方向。

（二）合作探究

学生小组合作，探究三次函数的六种性质。

教师巡视、观察，随时关注学生的研究进度，在学生遇到困难的时候适当引导。

（三）成果展示

1、定义域和值域直接展示；

2、单调性和极值，由于要分四种情况讨论，稍显复杂，所以教师应引导学生采用正确的研究方法-----利用导函数；

3、奇偶性，应讨论系数的取值；

4、对称中心：

这是本节课的研究重难点。学生并未学过求对称中心的方法，所以只能“猜想”出对称中心的坐标。此时，教师应对于学生的“大胆”给出肯定，同时要求学生“小心求证”。证明对称中心的过程由学生来完成，让其他学生体会学术研究的严谨性。

严谨的证明结束后，再根据三次函数的特殊性，找到更简单的求三次函数对称中心的办法-----通过之前的观察发现，三次函数的对称中心就是两个极值点的中点，进一步的，即为f''(x)0的根。在实际做题过程中，利用这种特殊办法可以“小题小做”，节约时间。

（四）知识小结

小结三次函数的六种性质。

（五）高考实战

学习了三次函数的性质，学会了研究函数的方法，最终还是要运用于实践。所以，此

处选择了2012,2013,2014,2015年考查三次函数性质的典型高考题，让学生学以致用。

1．（2013，新课标Ⅱ）已知函数f(x)x3ax2bxc,下列结论中错误的是（

）

B．函数yf(x)的图像是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x0)上单调递减

A．x0R,f(x0)0

D．若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)0

分析：本题考查三次函数的最基本性质，属于简单题。

2.（2014，陕西）如图1，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10

千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为

（

）

图1 1324331

A．y＝x3－x

B．y＝x3－x

C．y＝x3－x

D．y＝－x3＋x 125512551251255分析：本题为实际问题，要求学生找出三次函数的特殊点-----零点和极值点，从而得到函数解析式。

3. (2012，全国)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝（

）

A．－2或2

B．－9或3

C．－1或1

D．－3或1 分析：本题要求学生通过求导，得出三次函数的单调区间。并根据图象，将“与x轴恰有两个公共点”翻译成数学语言。

4.

(2015，安徽)设xaxb0，其中a,b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是

（写出所有正确条件的编号）

3(1)a3,b3;(2)a3,b2;(3)a3,b2;(4)a0,b2;(5)a1,b2

分析：本题不仅需要讨论0和0的情况，在0时，还需考虑极值点和x轴的关系，对学生的综合运用能力要求较高，难度较大。属于本节课的“最近发展区”。

（六）课堂总结

1、知识

2、思想方法：如何研究函数的性质

（七）作业布置

完成学案上的“自助餐”