探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积评课稿

探究与发现 祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积

河北武邑中学

韩岩

一、教材的内容、地位及编排依据

[内容、地位]

本节是必修2 第一章的“探究与发现”内容，是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式; 通过模型演示，利用祖暅原理,推广到柱、锥、球体的体积计算。通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程,初步了解解决空间几何体问题的思想方法，逐步提高解决空间几何体问题的能力。

[编排依据] 主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力。

二、教学目标

(1)理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；

(2)在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法; 体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；

(3)在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法; 掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；

(4)通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣。

三、教学的重点、难点

(1)柱体、锥体、球体的体积公式的探究。

(2)学生探究能力的培养。

四、教学设计

1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足因此本节课采用探究性教学。

2、根据本节课的特点为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习法通过分析、探索得出柱体、锥体、球体的体积公式。

3、由祖暅原理推导柱、锥、球的体积，结构图如下：

体积的概念

祖暅原理

转化

长方体体积

根据

柱体体积

三棱

锥为

代表

柱分

解为

锥

化为柱锥之差

球体体积

锥体体积

4、案例设计

Ⅰ

导入课题：回顾已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并发问:这些公式怎么来的?

(设计意图:学生产生疑问，带着疑问主动的探究柱体、锥体、球体的体积公式的由来) 师：同学们还记得柱、锥、台、球的体积公式吗？

114生：柱体：VSh；锥体：VSh；台体：V(SSSS)h；球体：R3

333师：很好，大家记得都很牢，那么体积公式是如何得到的呢？

生：……疑惑不解

Ⅱ探究新知

l、祖暅原理的引入通过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式提供理论基础。

师：在解决以上问题之前，我们先来了解一位古人—祖暅（引导学生看课件）。简单的了解了祖暅原理之后，大家想一想实际生活中有什么样的例子能和祖暅原理相一致？

生1：一摞书本，先是摆成一个长方体的形状，然后稍微推一下，推前后的体积相等。

生2：一摞硬币，先摆成一个圆柱的形状，然后推一下，让它变斜，推前后的体积相等。

师：两位同学举了两个例子，那这两个例子真的和祖暅原理相对应吗？

生：这两个例子都满足两个条件：1、它们夹在两个平行平面间。2、任意平行于这两个平行平面的平面截几何体，截得的截面积相同。所以这两个例子都能和祖暅原理对应。

2.探究柱体的体积公式

柱体(棱柱、圆柱) 的体积公式:：VShS是底面积h是高

(设计意图: 利用祖暅原理把求一般柱体体积转化为求特殊棱柱-------长方体的体积，从而推导一般柱体体积) 师：两个同底等高的长方体的体积有什么关系？

生：体积相等

师：为什么是相等的呢？

生1：因为它们满足祖暅原理

生2：因为它们的体积都可以用VSh来表示

师：正确，思考一下，圆柱的体积为什么也可以用VSh来表示呢？

生：构造一个同底等高的长方体，根据祖暅原理，它们的体积是相等的，那么圆柱的体积就也可以用VSh来表示

师：非常好，当一个长方体和一个圆柱同底等高的时候，那么它们也就满足祖暅原理的两个条件，体积也就是相等的。所以在此，我们总结出了柱体的体积公式：VSh

师：下面我们来看例题1 3、探究锥体的体积公式

①等底等高的棱锥与圆锥体积相同

②如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？

1ShS是底面积h是高

3师：我们得到了柱体的体积公式，那么锥体呢？我们先从最简单的三棱锥开始研究

1师：对于公式VSh中的Sh你想到了什么？

3生：棱柱的体积

1师：如果我们能说明棱锥的体积是棱柱体积的那么结论就成立了，那么我们看这样一个实3验（展示动图，将一个三棱柱拆分成三个三棱柱）。

师：拆分出来的三个三棱柱体积相等吗？为什么？

生1：体积相等，任意两个三棱锥都是同底等高的

师：还有同学要补充的吗？

生2：任意两个三棱锥底面积相同，高相同，将两个三棱锥的底放在同一平面内，再用平行于底面的截面去截两个三棱锥，所得截面的面积也相同，所以根据祖暅原理，两个三棱锥的体积相等。

师：为什么截面的面积相同

生3：每个小棱锥的截面与相应棱锥的底面是相似的，且相似比相同，又因为两个棱锥的底面积相同，所以截面面积相同。

师：很好，这样，我们由祖暅原理就推导出每个棱锥都等于相应棱柱体积的三分之一，所以1棱锥的体积公式为VSh

3师：棱锥的体积公式我们得到了，那么圆锥的呢？

生：可以利用棱锥的体积公式，构造一个与圆锥同底等高的棱锥

1师：好，这样我们就得到了锥体的体积公式VSh。

3师：下面我们来看例题2

4、探究球的体积

锥体的体积V

1V半球V圆柱V圆锥R2RR2R232R334V球R33所以球的体积

师：在圆柱和圆锥的体积公式的推导中，我们通过构造和它们同底等高的棱柱和棱锥且利用祖暅原理来进行证明，那么球体的体积我们怎么计算呢？

生：构造一个体积相同的几何体

师：构造一个什么几何体呢？

生：构造一个圆柱

师：可以吗？考虑一下两者的体积会相同吗？

生：不行，不满足祖暅原理，截面的面积不同

师：我们不妨先考虑半球，将半球放在两个平行平面之间，用一个平行于这两个平行平面的平面去截半球，在任意高度L的时候，半球的截面面积为R2L2，这个面积使你想到了什么？

生：圆环

师：好，那么我们在每一个高度都构造一个这样的圆环，然后将这些截面都叠起来，大家观察一下，这个像什么？

（展示GIF动图）

生：哦！像一个圆柱挖去一个圆锥。

师：这只是我们的猜想，那么现在我们动手验证一下，这个几何体是否满足祖暅原理的条件

（学生计算，讨论）

师：我们请一位同学来讲一下

生：从这个轴截面可以看出，圆环内侧小圆半径长度与截面的高度L相同，故可以得到圆环的面积，和高度为L时候的半球的截面的面积相同，所以满足祖暅原理的两个条件。所以几何体的体积相同。

师：这样半球的体积就能进行计算了，由此我们也就能得到球体的体积公式。

（展示PPT，得到结论）

点评：利用祖暅原理求几何体的体积，关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体。

师：下面我们来看例题3

Ⅲ课堂小结：

师：这节课我们学习了祖暅原理，什么是祖暅原理？

生：两个几何体，夹在两个平行平面间，且任意平行于这两个平行平面的平面截几何体，截得的截面的面积相同，则这两个几何体的体积相同。

师：那么如何应用祖暅原理计算体积？

生：利用祖暅原理构造体积相同的几何体。