3.3.4 两条平行直线间的距离PPT专用教学设计内容

第三章

直线与方程

3.3.4

两条平行直线间的距离

教材分析

通过两平行线间距离公式的探究，领会寻找两平行线间距离公式的思维过程以及推导方法，体验数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.本节内容研究两平行线间距离公式的推导和应用，推导公式的过程渗透了化归的思想．

教学目标与核心素养

教学目标

1．理解两平行线间的距离的推导方法；

2．掌握平行线间的距离公式；

3．运用平行线间的距离公式解决实际问题．

核心素养

1.逻辑推理

理解两平行线间的距离的推导方法；

2.数学计算

会计算平行线间的距离．

3.数学建模

运用平行线间的距离公式解决实际问题．

教学重难点

1. 平行线间距离公式及其应用

2. 两平行线间的距离的推导过程．来源:Zxxk.Com]

教学过程

一复习回顾

1点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=|Ax0By0C|AB22

想一想: 点到直线的距离公式对直线方程有什么要求？

提示：直线方程要化为一般式．

2做一做 原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(

) A．1

B.3 C．2

D.5 解析：选D.d＝|－5|＝5

12＋22二导入新课

1

两条平行直线间的距离

1

(1)定义：在一条直线上任取一点作另一条平行线的垂线，这点与垂足之间的线段长叫做平行线间的距离。

结论1：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长。

结论2：平行线间的距离处处相等。

(2)图示：

l1:2x-7y+8=0

l2: 2x-7y-4=0 提问：l1与l2平行吗？为什么？如何求l1与。l2 的距离

l2

1的斜率为k17lk2 2的斜率为27



l1与l2平行

2求法：法一

转化为点到直线的距离．

的例1已知直线l1:2x-7y-8=0，l2:6x-21y-1=0试判断l1与l2平行吗？若平行，求l1与l2的距离。分析：

1、判断两线平行应分别求出它们的斜率。

2、在一条直线上选择恰当的点，最好选择坐标为整数的点。

3、利用点到直线的距离公式求解。

解：取l2与x轴的交点M，则M(2,0) 点M到直线l1的距离为：

d|22708|125322(7)253

1253所以平行线l1与l2的距离为53

练习1：求下列两条平行直线间的距离：

（1）2x+3y-8=0 2x+3y+18=0 （2）3x+4y=10 3x+4y=0 法二引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l|C1C2| 22222（（（2:Ax+By+C2=0的距离d=A2B2.

2

证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=|Ax0By0C|AB22. 又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=注意：两条直线中的A、B要统一。

用公式验证练习1 |C1C2|AB22. （1）2x+3y-8=0

2x+3y+18=0 d|18(8)|2232261321313

（2）3x+4y=10 3x+4y=0 d|0(10)|32421025

变式训练

已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(

) A．3

B.3

C.答案

D 解析

两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ|＝3＝. 2练习2 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为____________．

答案

10

4|5－－62＋82

33

D.22[来源学科网Z.X.X.K]

6m解析

由题意，得＝，∴m＝2，

31将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，

由两平行线间的距离公式，得|－1＋6|510＝＝. 44062＋22例2 已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，求l的方程。

解：

设直线l的方程为2x－y＋C＝0，

由题意，得|3－C|22＋12＝|C＋1|22＋12，解得C＝1，

∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 练习3 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为3的直线方程；

3

解

设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

由两平行直线间的距离公式，得3＝解之得C＝45或C＝－33，

故所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0. 课后作业：两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)两点，若l1与l2的距离为5，求两直线方程．

解

由题意知，两直线的斜率都存在，

设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2的距离为5，

|－k－5|5所以2＝5，解得k＝0或. 12k＋1所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. |C－6|，

52＋－122课堂小结

求两平行线间距离一般有两种方法

(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算. (2)公式法:直接用公式d=

|C1C2|AB22

,

但要注意两直线方程中x,y的系数必须分别相同.

4