4.3.2 空间两点间的距离公式优秀说课稿

4.3.2 空间两点间的距离公式教学设计

教材分析

平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到222空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x+y=r表示以原点为圆心,r为半2222径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x+y+z=r表示以原点为球心,r为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不会增加学生的负担,还会提高学生学习的兴趣. 教学目标

1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决相关问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点

教学重点：空间两点间的距离公式及其应用. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 课时安排 1课时

教学过程

一、导入新课

思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本节课研究的主要内容. 思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即|AB|=|x1-x2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是|AB|=.同学们想,在空间中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此这就是我们本节课研究的主要内容. 二、新知探究

1、提出问题

Q1:平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程. Q2:在空间直角坐标系中，设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？

解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解. 2222222Q3:平面直角坐标系中的方程x+y=r表示什么图形？在空间中方程x+y+z=r表示什么图形？

学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想.

Q4：在空间直角坐标系中,类比平面两点间的距离公式，请同学们试猜想空间两点之间的距离应怎样计算？

回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式.

Q5:对于一个长方体，如何计算出它的体对角线长,说明你的依据. 利用勾股定理求长方体的体对角线长.

Q6:试根据Q2、Q5推导空间两点之间的距离公式. 利用Q5的方法,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.

解决问题：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是|AB|=它是利用直角三角形和勾股定理来推导的. , 图1 ②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD222222222222是直角三角形,所以BO=BD+OD,AO=AB+BO=AB+BD+OD=z+x+y,因此A到原点的距离是|OA|=. 2222222③平面直角坐标系中的方程x+y=r表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x+y+z=r表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广. ④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是|AB|=,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤利用求长方体的体对角线长的方法,即已知长方体的长、宽、高,然后利用勾股定理来计算. 图2 ⑥如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=. 再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|==P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=,根据勾股定理,得|P1P2|=.因此空间中点.

于是空间两点之间的距离公式是d=.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根. 三、应用示例

例1（1）已知A(3,3,1),B(1,0,5),则线段AB的长度为 ；

(2)已知点A在y轴

，点B(0，1，2)且【解析】（1）根据两点间距离公式,得

d(A,B)=（2）由题意设A(0，y，0)，则,所以AB的长度为，

. ，则点A的坐标为

. 解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)

变式训练1

在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等. 解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|, , 整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3). 例2

证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC是一等腰三角形.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定. 证明：由两点间距离公式得：

|AB|=|BC|=|CA|=由于|BC|=|CA|=

, . ,所以△ABC是一等腰三角形. 点评:判断三角形的形状一般是根据边长判断的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长. 变式训练2

三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形.

活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定. 解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以

|AB|=|BC|==3, ,

|CA|=222=3. 又因为|AB|+|CA|=|BC|,所以△ABC是直角三角形. 例3

已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( ) A.0 B. C. D.

活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|==

=. 当x=时,|AB|的最小值为. 故正确选项为B. 答案：B 点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练

课本本节练习1、2、3、4. 拓展提升

已知三棱锥P—ABC(如图4),PA⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB与x轴所成的较小的角. 图3 解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：

以射线AC为y轴正方向,射线AP为z轴正方向,A为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,过点B作BE⊥Ox,垂足为E,∵B(在Rt△AEB中,∠AEB=90°,|AE|=m,m,0),∴E(m,|EB|=m, m,0,0). ∴tan∠BAE==.∴∠BAE=30°,

即直线AB与x轴所成的较小的角为30°. 课堂小结

1.空间两点间的距离公式的推导与理解. 2.空间两点间的距离公式的应用. 3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式. 布置作业

习题4.3 A组3,B组1、3.