3.1.1 变化率问题优秀教学设计

《变化率问题》教学设计

教材分析：

导数与函数、不等式等内容有着密切的联系，是解决最值问题强有力的工具。本节是导数的起始课，也是后续学习瞬时变化率以及导数的基础。

学情分析：

学生对平均值的计算方法是不陌生的，这是这节课的知识基础。另外，前面也已经学习过了直线斜率的有关知识，也为本节中理解平均变化率提供了知识储备。但从实际问题抽象出数学模型，对学生来说是有些困难的。

教学目标：

（1）初步了解微积分的发展，感受数学家的聪明智慧。

（2）让学生经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

（3）理解平均变化率的概念，会求函数在定区间和某点附近的平均变化率。

（4）结合平均变化率的几何意义，让学生体会数形结合的思想。

教学重点：

1．由生活中的变化率问题归纳得出平均变化率的概念；

2．理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数的平均变化率；

教学难点：数学建模思想的应用

教学方法：问答法、自主探究法

教学过程：

1.整体介绍

师：我们用函数来描述物体运动变化的现象，随着对函数的进一步研究，产生了微积分。微积分是由两位伟大的科学家牛顿、莱布尼茨共同创立的，可以说啊，微积分的创立是数学史上对的里程碑，被誉为“人类精神的最高胜利”。微积分的创立，与四类问题的处理直接相关：

①已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。 ②求曲线的切线。

③求已知函数的最大值与最小值。

④求长度、面积、体积、重心等。 在本章中，我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一，也是研究解决问题最一般、最有效的工具。今天，就让我们从变化率问题开始导数的学习吧。

【简要介绍微积分创立的背景，加深学生对微积分的认识，顺利引出本节课的课题】

2．引例初探

教师ppt展示姚明的身高变化曲线图，请同学们读图

并思考：在哪个年龄段，他的身高变化是最快的呢？

【引导学生从形的陡和缓做直观判断，学生不难看出

在13-16岁身高变化最快】

师：华罗庚曾经说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。那如果我们想要进一步判断4-13岁和16-22岁这两个年龄段的身高变化快慢，光靠看图够不够，有没有其他的方法可以刻画？

【引导学生由“粗略”到“精确”，让学生发现知识的产生是一个自然的过程。让学生认识到进一步代数法计算的必要性。】

师：在这个问题中，我们从数的角度用图形的陡和缓来做直观判断，从数的角度用身高差来进一步刻画。我们用形提供思路，数加以验证，数与形的完美结合，年龄差往往会让我们问题的解决带来很大的方便。

【引导学生从数形结合的思想来看待问题、解决问题，这个问题相对简单，学生有平均值这一基本知识储备，不难找到方法。通过这个引例，也为后续实际应用中抽象数学模型的数据计算提供一定的思路。】

3.再探新知

情境一、气球膨胀率

师：（引言）数学来源于生活，又服务于生活。在座的各位都有过吹气球的体验，我们发现，随着气球体积的增大，半径增加得越来越慢。你能从数学的角度，描述这一现象吗？

师：我们知道，气球的体积v（单位：L）与半径 r（单位:dm）之间的函数关系

43VV(r)r3，反过来，如果将半径表示为体积的函数，那么

r(V)3是 43师：下面，我将利用这两个函数，借助几何画板的强大数据处理能力，来模拟气球试验。为了确保数据的相对准确性，我们模拟打气筒给气球打气。在这个过程中，我将分三次连续给气球充气，第一次打气10下，第二次再打10下，第三次再打5下，在采集数据的过程中，因为事先我已编写好了函数，所以事实上，只要我们采集到第一次充气10下之后气球半径的测量值r1，那么就可以求出V1，进而求出V2和V3，然后再根据半径关于体积的函数式，由V2求得r2，由V3求得r3，这样我们就可以得到一组吹气球的模拟数据啦。

【教师几何画板演示数据的采集及生成过程，提高效率。】

师：请同学们利用这一组数据，想一想，用数学角度，描述气球膨胀的快慢呢？

【学生自主探究为主，教师个别指导学生，给学生一定的时间，培养学生的数学建模能力。教学预想是：一是可能会有学生只会考虑半径的增量导致出错，二是学生可能会想到用体积差与半径差的比值来计算，从而得出错误结论，这也是出错可能性最大的。三是一部分学生可能会得到正确答案。在学生得出错误答案的时候，并不直接给出做法，而是通过引导，以学生自主探究为主，鼓励学生通过尝试，试图寻找解决问题的办法，培养学生的数据分析和逻辑推理能力。】

师：刚刚我们从数的角度，用气球的平均膨胀率来刻画气球膨胀的快慢，那么从形的角度的呢？

r(V)3（教师几何画板动画展示函数 的图像）

3V4【教师借助几何画板的动态展示，再次向学生渗透数形结合的数学思想方法】

情境二、高台跳水

师：（引言）中国的跳水队是中国的梦之队之一，在高台跳水中，我常常会为运动员的胆量感到很佩服。下面请同学们欣赏吴敏霞的跳水视频并思考，如果将运动员看作一个质点，那么她在空中的运动轨迹是什么呢？

（教师播放视频）

【问题的提出，引导学生在观看视频的同时，能从数学的角度来看待运动员的运动，让学生思维始终活跃在数学领域里。】

师：准确来说，是抛物线上的一段。经过研究，在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度

h (单位:m)与起跳后的时间

t (单位:s) 存在函数关系 h(t)4.9t26.5t10，那如何描述运动员的运动状态呢？

【由上述几个例子，学生应该不能想到计算方法。】

师：在一段时间的速度，准确一点，应该说是平均速度。那你能具体说出，在 0t0.5和 1t2内的平均速度吗？

（学生说计算方法，教师板书）

师：第一次结果4.05（m/s），第二次是-8.2(m/s)，那么在哪个时间段，运动员的位移变化是最快的呢？（由学生回答）

【提醒学生速度正负的含义，破解认识上的误区】

师：请同学们思考：在时间[t1，t2],运动员的平均速度是多少？ 【由特殊到一般，由学生归纳得出结果，培养学生的概括知识的能力】

4.表征概念

师：思考：1、在上述案例中，我们如何刻画物体的变化率？ 2、他们有什么共同之处吗？ （由学生归纳得出，尽管说法会不太准确，但尽量鼓励学生自行得出结论）

f(x2)f(x1)师：定义：如果问题中的函数关系用y=f(x)表示，那就把这个式子 x2x1称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率。

【由学生自主归纳，教师表征平均变化率的概念，培养学生由特殊到一般的数学抽象概括能力】

xx2x1，则 yf(x2)f(x1)，那么，平均变化率可以变成这师：如果用用 f(x)f(x1)yf(x1x)f(x1)样：

2xx2x1xy的范围有要求吗？（引导学生回答）

x和 师：思考： 师：请同学们再次来看平均变化率的式子，从几何的角度看，和我们之前哪个式子的结构接近，平均变化率又可以看做什么呢？

（先由学生回答，再通过幻灯片展示了平均变化率的几何意义。）

【在平均变化率几何意义的得出过程中，教师并未直接给出，而是引导学生从式子的结构特征，展开数学联想，培养了学生学生直观想象这一数学核心素养】

师：那么，求平均变化率的一般步骤是什么呢？

（教师引导学生进行归纳总结）

5、小试牛刀

师：（口说千遍万遍，不如动手一练，下面让我们小试牛刀一下吧）

例练 求平均变化率 (1)函数

f (x) = 2x +1在区间[–3 ,–1]上的平均变化率

； x0x0x的平均变化率。 (2)函数f (x) = x2

+1在[ , + ]（学生自主计算，教师巡视，再通过投影仪展示学生的做题成果。）

【在这一环节，给学生足够的时间和空间，给学生留白，培养学生的数学运算能力。】

6、拓展探究

0t探究1：在情境一高台跳水中，计算运动员在 这段时间里的平均速度，6549并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？

x0时，

探究2：当点B逼近于点A时，也即 割线AB会有什么变化？其斜率有会有什么变化？

借助几何画板动态展示）

【通过探究1，让学生认识到平均变化率的局限性，为后续瞬时变化率做准备，通过探究2，让学生认识到平均变化率到瞬时变化率的生成过程，为后续导数的学习做好准备。】

7、课堂小结

师：本节课，我们以平均变化率为主线，学习了它的定义、步骤以及几何意义。我们发现，丰富多彩的变化率问题在我们的生活中随处可见，只要你有一双善于发现的眼睛，能从数学的角度看待问题，那么一切也将变得更加多姿多彩！

【教师通过幻灯片进行小结，让学生回忆本节所学，让学生认识到数学是有用的，引导学生在生活中从数学的角度看问题。】

教学反思：

本节课在概念生成之前，通过大量的生活中的变化率问题，教师通过适当引导，让学生对问题进行大胆假设，尝试数据处理，从而自主探究出相关内容，因此对学生能力的要求还是比较高的。本节在概念的教学上花的时间稍多，设置习题稍显少，学生练习的力度还不够大。总的来说，在培养学生学习能力方面,算是一次成功的尝试。