3.1.1 变化率问题教学设计方案

教学过程设计

创设情景、引入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

新知探究

1.变化率问题

探究1 气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是

如果将半径r表示为体积V的函数,那么

【分析】

（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

（2）

当V从1增加到2时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

0.62>0.16，可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

解析：

探究2

高台跳水

【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。

【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

探究3

计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

（1）

运动员在这段时间里是静止的吗? （2）

你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态. 【活动】师生共同归纳出结论

平均变化率: 上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子表示.

我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率. 习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1) 这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率

的几何意义是什么？

【提示】：直线AB的斜率

【设计意图】问题的目的是：

①

让学生加深对平均变化率的理解；

②

为下节课学习导数的几何意义作辅垫；

③ 培养学生数形结合的能力。

2.导数的概念

探究1

何为瞬时速度2.

【板演/PPT】

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

解：

探究2 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值

–13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是

–13.1 m/s. 为了表述方便，我们用

表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度趋近于确定值– 13.1”. 【瞬时速度】

我们用

表示

“当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”. 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻

的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒时的瞬时速度。

探究3: （1）.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? （2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念: 一般地，函数 y = f(x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数,

记作

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1.

求函数的改变量

2.

求平均变化率

3.

求值