2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案教学设计

2.1 点线面位置关系

一、知识点总结

1．点和直线的位置关系是：

① ②

2．点和平面的位置关系是：

① ②

3．直线和直线的位置关系是：

共面： ① ②

不共面：③

4．直线和平面的位置关系是：

① ② ③

5．平面和平面的位置关系是：

① ②

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过点的公共直线

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

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二、练习与巩固

一、选择题

1．下面推理过程，错误的是（ ）

A l//,AlA

B Al,A,Bl

C A,A,B,BAB D A,B,C,A,B,C,并且A,B,C不共线

2．以下命题正确的有（ ）

（1）若a∥b，b∥c，则直线a，b，c共面；

（2）若a∥，则a平行于平面内的所有直线；

（3）若平面内的无数条直线都与平行，则∥；

（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

3．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ）

A 2 B 3 C 6 D 12

4．以下命题中为真命题的个数是（ ）

（1）若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l∥；

（2）若直线a在平面外，则a∥；

（3）若直线a∥b，b，则a∥； （4）若直线a∥b，b，则a平行于平面内的无数条直线。

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

二、

填空题：

5．若直线l与平面相交于点O，A,Bl，C,D，且AC//BD，则O,C,D三点的位置关系是 。

6．在空间中，

①

若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。

②

若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。

以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上）

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7．已知，a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是

①

两条平行直线

②

两条互相垂直的直线

③

同一条直线

④

一条直线及其外一点

在上面结论中，正确结论的编号为 （写出所有正确结论的编号）。

三、解答题：

8．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是BB1 和BC的中点，AB=4，AD=2，BB1215，求异面直线B1D与MN所成角的余弦值。

9.如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为线段AB的中点．

求：（1）三棱锥C1-MBC的体积；

1

6 （2）异面直线CD与MC1所成角的大小的余弦值

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2.2.1 直线与平面平行的判定

一、知识点总结

直线与平面平行的判定

图形语言

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

文字语言

符号语言

a,b,且a∥ba∥

二、练习与巩固

一、选择题；

1．已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系 ( ) A ｂ∥α B ｂ与α相交 Cｂα Dｂ∥α或ｂ与α相交

2．不同直线m,n和不同平面,，给出下列命题： ( ) //m//n ② m//n// mm//m③ m,n异面 n① 其中假命题有

A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

3．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为 ( ) Aｌα Bｌα Cｌ≠α Dｌ∩α＝

4．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 ( ) A平行 B相交 C异面 D平行或相交或异面

5．已知直线l1、l2，平面α，l1∥l2，l1∥α，则ｌ2与α的位置关系是 ( ) A l2∥α B l2α C l2∥α或l2α D l2与α相交

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二、填空题；

6 经过直线外一点有 平面和已知直线平行；

7．经过直线外一点 直线与已知直线平行；

8. 有以下命题，正确命题的序号是 . ①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行；④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行

三、解答题

1.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.

2.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点. 求证：MN∥平面AA1C1.

3.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F. 求证：EF∥平面ABCD.

4.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形. 求证：（1）AB∥平面EFGH （2）CD∥平面EFGH.

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2.2.2 平面与平面平行的判定

一、知识点总结

平面与平面平行的判定

图形语言

定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

文字语言

符号语言

a,b,abP,a∥，b∥∥

二、练习与巩固

一、选择题

1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( ) ①lα,mα,且l∥β,m∥β；②lα,mα,且l∥m；③l∥α,m∥β,且l∥m A 1个 B 2个 C 3个 D 0个

2．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）

①α，β分别过两条平行直线；②a，b为异面直线，α过a平行b，β过b平行a；

A ① B ② C ①② D 无

3．下列命题中为真命题的是（ ）

A 平行于同一条直线的两个平面平行 B 垂直于同一条直线的两个平面平行

C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．

D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．

4．下列命题中正确的是( ) ①平行于同一直线的两个平面平行；

②平行于同一平面的两个平面平行； ③垂直于同一直线的两个平面平行； ④与同一直线成等角的两个平面平行

A ①② B ②③ C ③④ D ②③④

二、填空题；

5．

下列命题中正确的是 （填序号）；

①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；

④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

；

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6．

若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是 ；

7．

如右图,点P是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α 时,投影图象的形状不发生变化.

三、解答题；

8.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、

C1D1、A1A的中点.求证：

（1）BF∥HD1；

（2）EG∥平面BB1D1D；

（3）平面BDF∥平面B1D1H.

2.2.3直线、平面平行的性质

一、知识点总结

图形语言

直线与平面平行的性质

平面与平面平行的性质

文字语言

定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

符号语言

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二、练习与巩固

一、选择题

1．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面a＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是（ ）

A．c与a，b都异面 B．c与a，b都相交

C．c至少与a，b中的一条相交 D．c与a，b都平行

2．如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（ ）

A．都平行 B．都相交 C．一个相交，一个平行 D．都异面

3．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是( )

4．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题

①若mα，n∥α，则m∥n；

②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；

其中真命题的个数是( )

二、填空题

5．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为 ； 6. 过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是

A．0 B．1 C．2 D．3 A．如果m,n,m、n是异面直线，那么n//

B．如果m,n,m、n是异面直线，那么n与相交

C．如果m,n//,m、n共面，那么m//n

D．如果m//,n//,m、n共面，那么m//n

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三、解答题；

7.空间四边形ABCD，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．

求证：四边形EFGH为平行四边形；

2.3.1直线与平面垂直的判定

一、知识点总结 1．

直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，

就说直线l与平面互相垂直，记作 。直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。

2．直线与平面垂直的判定定理：

文字语言: . 图形语言: 符号语言:

3.

直线与平面所成的角：

叫做直线与平面所成的角.

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二、练习与巩固

一、

选择题：

1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）

A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定

2．直线a与b垂直，b⊥平面，则a与平面的位置关系是 ( ) A．a∥ B．a⊥ C．a D．a或a∥

3．已知m，n为两条不同的直线，，错误！未找到引用源。为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A ．m,n,m//,n////错误！未找到引用源。 B．

//,m,nm//n错误！未找到引用源。

C．m,mnn//错误！未找到引用源。 D．

m//n,nm 4．已知两条直线m,n，两个平面,，给出下面四个命题：

①m//n,mn ②//,m,nm//n

③m//n,m//n// ④//,m//n,mn

其中正确命题的序号是（ ）

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（ ）

A．

6 4 B．10 4C．23 D．

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二、填空题

6．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的

中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 . 7．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 ．

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（第6题图） （第7题图）

三、解答题：

8.四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=22，SA＝SB＝3.证明：SA⊥BC；

2.3.2 平面与平面垂直的判定

一、知识点总结

1.

二面角: 叫做二面角,这条直线叫做 ,这两个半平面叫做

,记作二面角 。

2.

二面角的平面角:

定义: 图形; .

3.

两个平面互相垂直的定义： 。

4．两个平面互相垂直的判定： 。

图形语言： 符号语言：

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二、练习与巩固

一、选择题：

1、若三条直线OA、OB、OC两两垂直，则直OA垂直于（ ）

A 平面OAB B 平面OAC C 平面OBC D 平面ABC 2、设、、

为不同的平面，l、m为两条不同的直线，则下列条件中不能推出⊥的是（ ）

A l⊥m，l⊥，m⊥ B l⊥m，l，m

C ⊥，∥ D l∥m，l⊥，m

3、在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，若PA⊥平面ABCD，则在此四棱锥的五个面中互相垂直的平面共有（ ）

A 3对 B 4对 C 5对 D 6对

二、填空题

4、已知平面,和直线，给出条件：①m//；②m；③m；④；⑤//. （i）当满足条件 时，有m//；（ii）当满足条件

时，有m.

（填所选条件的序号）

5、已知直线AO⊥平面于O，直线OB⊥AO，则OB与平面的关系是 。

2.3.3 直线与平面垂直的性质

一、知识点总结 两个平面互相垂直的性质定理： 。

图形语言： 符号语言：

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二、练习与巩固

一、选择题：

1、若直线l⊥平面，m，则（ ）

A． l⊥m B. l可能与m平行 C. l与m相交 D. l与m不相交

2、已知平面⊥平面，l，点P∈l，则给出下面四个结论：

①过P和l垂直的直线在平面内； ②过P和平面垂直的直线在平面内；

③过P和l垂直的直线必与垂直； ④过P和平面垂直的平面必与l垂直。

其中真命题是：（ ）

A. ② B. ③ C. ①、④ D. ②、③

3、给出以下四个命题

①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是

A.4 B.3 C.2 D.1

4、正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）

A．

AC错误！未找到引用源。

B．

BD 错误！未找到引用源。 C． A1错误！未找到引用源。D D． A1A

二、填空题

5、设直线l和平面、，且l,l，给出如下三个论证:①l；②；③l//

从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是 。

三、解答题：

6、

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC, ∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N 第

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分别为PC、PB的中点.求证：PB⊥DM;

7、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，1DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，

2M是PB的中点。证明：面PAD⊥面PCD；

2.3.4 平面与平面垂直的性质

一、知识点总结

直线与平面垂直的性质定理： 。

图形语言： 符号语言：

二、练习与巩固

一、

选择题：

1、下列命题中，不正确的是（ ）

A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面

B. 平面的垂线一定与平面相交

C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直

D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直

2、已知平面⊥平面，l，点P∈l，则给出下面四个结论：

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①过P和l垂直的直线在平面内； ②过P和平面垂直的直线在平面内；

③过P和l垂直的直线必与垂直； ④过P和平面垂直的平面必与l垂直。

其中真命题是：（ ）

A. ② B. ③ C. ①、④ D. ②、③

3、关于直线m、n与平面、，有下列四个命题： ①m//,n//且//，则m//n； ②m,n且，则mn；

③m,n//且//，则mn； ④m//,n且，则m//n. 其中真命题的序号是（ ）

A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③

4、设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（

）

A．m,n,mn

B．//,m,n//mn C．,m,n//mn

D．,m,nmn

，，是三个不同的平面，5、若m则下列命题中的真命题是（ ）

，n是两条不同的直线，A．若m，，则m

C．若m，m∥，则

二、填空题

6、设直线l和平面、，且l,l，给出如下三个论证:①l；②B．若m,n，m∥n，则∥

D．若，⊥，则

；③l//

从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是 。

7、下面四个命题：

①三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直；

②三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直；

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③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直；

④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直。

其中正确命题的序号是 。

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