4.3.2 空间两点间的距离公式教学设计内容推荐

4.3.2

空间两点间的距离公式

一、教学目标

1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点) 二、教学过程

教材整理1

空间直角坐标系

阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．

1．空间直角坐标系

以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z定义

轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面

画法

在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°

图示

本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，说明

让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系

2.空间中一点的坐标

空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

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三、自我测试

小试牛刀

1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)．(

) (2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)．(

) (3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)．(

) (4)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．(

) 【解析】

(1)错误．x轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0. (2)、(3)、(4)正确．

【答案】

(1)×

(2)√

(3)√

(4)√

教材整理2

空间两点间的距离公式

阅读教材P136“练习”以下至P137部分，完成下列问题．

（1）点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|＝x2＋y2＋z2. （2）任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.

2、计算：

在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝110，则m的值为________．

【解析】

|AB|＝－1－22＋2－12＋3－m2

＝110，

∴(3－m)2＝100,3－m＝±10. ∴m＝－7或13. 四、交流

合作

通关

（1）空间中点的坐标的确定

例1

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的1中点，G在棱CD上，且CG＝4CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标．

点评：

要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐

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标．

解答：

建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y1坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为0，0，2. 11由F作FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知FM＝2、FN＝2，则F点

11坐标为2，2，0. 33点G在y轴上，其x、z坐标均为0，又GD＝4，故G点坐标为0，4，0.117由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故HK＝2、CK＝8.∴DK＝8.故H710，点坐标为. 8，2

小结：

1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则

(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；

(2)充分利用几何图形的对称性．

2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．

（2）求空间对称点的坐标

例2

在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．

(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；

(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；

(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．

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点评：

对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．

解答：

(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．

(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．

(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，

由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，

y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，

所以P3的坐标为(6，－3，－12)．

小结：

1求空间对称点的规律方法

空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 2空间直角坐标系中，任一点Px，y，z的几种特殊对称点的坐标如下：

①关于原点对称的点的坐标是P1－x，－y，－z；

②关于x轴横轴对称的点的坐标是P2x，－y，－z；

③关于y轴纵轴对称的点的坐标是P3－x，y，－z；

④关于z轴竖轴对称的点的坐标是P4－x，－y，z；

⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5x，y，－z；

⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6－x，y，z；

⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7x，－y，z.

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