小结课时教案

简单多面体外接球问题（一）

——长方体中特殊三棱锥外接球问题

玉溪二中 刘秀娟

一、教学内容分析

本节课为高三上学期一轮复习的复习课。本专题内容我设置了三个课时：第一课时为：长方体和正方体外接球问题，特殊三棱锥外接球利用补体法（补全长方体或正方体）来解决。第二课时为：直棱柱和圆柱、正棱锥外接球问题，特殊三棱锥外接球利用补体法（补全三棱柱）来解决。第三课时为综合训练。本节课为第一课时。

近年来，高考题中常常出现简单多面体外接球问题，此类问题能有效考查学生的空间想象能力，它自然受到命题者的青睐.简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心的位置问题。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

二、学生学习情况分析

学生在高二系统的学习了立体几何，理解球的定义及多面体外接球的定义，掌握球的性质，知道球的半径能熟练应用公式求出球的体积与表面积。对简单多面体外接球有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即特殊三棱锥外接球利用补体法（补全长方体或正方体）来解决，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。

三、设计理念

本节课，力图让学生从不同的角度去研究特殊三棱锥，对利用补体法（补全长方体或正方体）求特殊三棱锥外接球的体积与表面积进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法。经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。

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教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣

教学原则：注重各个层面的学生

教学方法：启发诱导式

四、教学目标

知识与技能：学会用补体法补全长方体或正方体解决一些特殊的三棱锥外接球问题。

过程与方法：建立空间感，体会转化的数学思想方法。

情感、态度、价值观：完善知识体系，增进对学习数学的信心和兴趣。

学习目标：1、长方体、正方体外接球问题

2、补体法求特殊三棱锥外接球问题

五、教学重点和难点

重点：学会转化的思想方法。

难点：补体法的要点。

六、教学过程设计

【课前准备】

1、每人准备一个长方体，或正方体盒子（分小组讨论，从长方体或正方体的八个顶点中，任取四个顶点，可以构造出什么样的三棱锥？）

2、分组：4～6人为一个实习小组，确定一人为组长，教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。

3、课前在黑板上画出4个长方体。

【教学过程】

教学环节

教学程序及设计

设计

意图

课题引入：舞动柔乐球，展示球在我们生活中无处通过回旧知回顾

不在。

1、球的体积 2、球的表面积 3、多面体外接球的定义

顾旧知识，使知识得到联系。

2

1、长方体相邻三个面的对角线为x,y,z,则长方体的新知探究

体对角线为 ，即长方体的的外接球的直径2R= 2、构造成长方体或正方体的特殊三棱锥的情况：

知识的拓展

DAOD1BCa2b2c2C1B1ca2b2复习正方体和长方体外接球的问题

A1AA1ab复习基本模型外接球问题。

从学生长方体外接球的直径等于长方体的体对角线。2Ra2b2c2DBOD1C熟悉的几何体3a开始复习，为C1B12a进一步学习做准备。

a2R3a正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。引出例子，直击高考：

（一）长方体、正方体外接球问题

例1.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该球的体积为_____. 3

直击高考：

思考题1．（2013年高考天津卷文） 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为

, 则正方体的棱长为 ______. 思考题2.（2014年陕西卷理5） 已知底面边长为1，侧棱长为

的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

小结1：

（1）

设长方体的长、宽、高分别为a、b、c, 则

（2）设正方体的边长为a，则

即：正方体（或长方体）外接球的直径等于正方体（或长方体）的 。

1、分小组讨论，从长方体或正方体的八个顶点中，通过学任取不共面的四个顶点，可以构造出什么样的特殊三棱小组讨论探究

锥？ 生讨论，培

D.

2、讨论完后，小组选一名代表上黑板，在长方体或养学生正方体上将三棱锥构造出来。

师：课堂巡视，个别辅导。

交流合作能力。

4种特殊三棱锥可用拓展：

补体法：补全长方体或正方体

探究一：三条侧棱两两垂直的三棱锥求外接球问题，可补全长方体。（墙角型）

动手尝试，形成感知

4

补体法（补全长方体或正方体）求外接球问题

由这道例子可以引出本节课的一个亮点：已知长方体相邻三个面的对角线为x,y,z，如何来求长方体的对角线？

师：利用设而不求法，得出结论：已知长方体相邻三个面的对角线为x,y,z，则长方体的体对角线为

通过四补全正方体或长方体例1、已知三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB5，BC7，AC2,则此三棱锥的外接球的体积为823个例题的设计，有A利于加深学生cbPCO对四种Ba特殊三棱锥可用补体法（补全长方体或正方体）求外接球问题的理解和掌握，使学生经,即

探究二：一条侧棱垂直于底面，且底面为直角三角形的三棱锥求外接球问题，可补全长方体。（双垂直）

例2、已知三棱锥ABCD的顶点都在球O的球面上，且AB面BCD，AB2，BDCD1，BDCD,4则球O的体积为3历从特殊到一般的过程，体验知识形成的过程，逐步培养学生 5

探究三：各棱相等的三棱锥求外接球问题，可补全正方的抽象体。

概括能力。

例3、已知三棱锥ABCD的所有棱长都为2，则该三棱锥外接球的体积为32

ABCD

探究四：对棱相等的三棱锥求外接球问题，可补全长方体。

例4、已知三棱锥ABCD中，ACBD13，ADBC5，ABCD25，则该三棱锥外接球的表面积为29ABcbCaD

例5、如图，某几何体的三视图是全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于2，则这个几何体外接球的体积为 43

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小结2：什么样的三棱锥可构造成长方体或正方体？

1、三条侧棱两两垂直的三棱锥求外接球问题，可补全长方体。（墙角型）

2、一条侧棱垂直于底面，且底面为直角三角形的三棱锥求外接球问题，可补全长方体。（双垂直）

3、各棱相等的三棱锥求外接球问题，可补全正方体。

4、对棱相等的三棱锥求外接球问题，可补全长方体。

1.一个正方体的体积是

，则这个正方体的外接球的表面积是 2.设长方体的长、宽、高分别为

、

、

，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 3.一个四面体的所有棱长为

，四个顶点在同一球加深学面上，则此球的表面积为 ．

巩固练习

生对补4. 设

，

，

，

是球

表面上的四个点， ，体法 ，

两两垂直，且

，则球

的（补全表面积为 ．

长方体5. 已知三棱锥

的顶点都在球

的球面或正方上,AB垂直面BCD，

，

，体）的则球

的表面积是

6.( 2012 年高考辽宁卷文 16)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形，若PA=26,则△OAB的面积为______. 巩固

归纳小结

强化思想

1、你能归纳出这节课的学习内容吗？

2、你能谈谈这节课的收获和体会吗？

3、本节课用到了哪些数学思想方法？

教学反思中，整理知小组讨论，合作交流，由学生代表总结表达，教师识，加补充。

深巩固和提高

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1. 已知

、

、

、

是球

表面上的点，作业是

平面 ，

，

，

，则学生信球

的表面积等于

课后作业

2.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________.

3.探究：已知点A、B、C、D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=6，AB=3，求该球的体积. 息的反馈，教师可以在作业中发现学生在学习中存在的问题，弥补教学中的不足。

简单多面体外接球问题（一）

——长方体中特殊三棱锥外接球问题

1.球的体积 球的表面积

2、长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线 板书设计

3. 长方体相邻三个面的对角线为x,y,z，则长方体的体对角线为 ，即长方体的外接球的直径2R=

4.构造成长方体或正方体的特殊三棱锥的情况

8

长、宽、高分别为a、b、c的长方体的的外接球的直径2R=

七、教学反思

本节课的内容是复习长方体和正方体外接球和补体法，引出哪些三棱锥外接球问题可以用补全长方体或正方体来解决，并且让学生吃透此内容。

在教学中采用幻灯片形式，讲练结合、小组讨论、师生互动的教学方法，学生参与面也比较高。针对本节课的内容，编排了一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来。通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，收到了一定的预期效果，尤其是练习的处理，让学生感受“观察——归纳——概括——应用”等环节，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到了设计中所预想的目标。

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