3.1.1 变化率问题教案和课堂实录

平均变化率

教学目标：

知识目标：通过对实际背景的分析，理解平均变化率的概念，会用平均变化率公式来求某一区间上的平均变化率。

能力目标：体会平均变化率的思想及内涵。

情感目标：使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神

教学重点：在实际背景下，借助函数图像直观的理解平均变化率，得到平均变化率公式。。

教学难点：对生活现象中的变化情况作出相对应的数学解释。

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：气球，多媒体、实物投影仪。

教学过程：

（一）创设情景

1：观看刘翔奥运会夺冠，引出平均速度的数学意义。

2：通过对经济增长的分析，引出对函数变化进行数学描述的深入思考。

（二）实践活动

学习线索一：探索对函数变化的数学描述。

学习活动：各个小组配备一个气球，进行下面的活动：

吹气球：每次都吹入差不多大小的一口气

观察：气球变大的速度

思考：每次吹入差不多大小的气体，气球变大的速度一样吗？为什么？对思考的问题给出一个科学的回答，就需要从数学的角度，用数学语言把这个生活现象进行描述，解决问题。

目的：从对生活现象的感性认识转移到理性的数学分析上。

引入平均膨胀率，从具体的平均增长率过渡到一般函数的平均变化率。

具体过程：在这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况怎样？

分析：由气球的体积V（单位：L）与半径（单位：dm）之间的函数关系式引入气球平均膨胀率的概念。

43V(r)r3

3V3333r(V)r(V)（）（V)r(V)0.620353V44当空气容量V从0增加１Ｌ时，半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为

r(1)r(0)0.62(dm/L)

10当空气容量2从1加2L时，半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

气球的平均膨胀率为

r(2)r(1)0.16(dm/L)

21从气球的平均膨胀率和对一些具体生活情况的变化研究分析后，将这一思路延伸到函数上，归纳得出函数的平均变化率。

给出平均变化率的定义：

r(V2)r(V1)f(x2)f(x1)

V2V1x2x1我们把这个式子称为y习惯上用x表示f(x)从x1到x2的平均变化率，x2x1，即xx2x1

可把x看作是相对于x1的一个“增量”，用x1x代替x2；类似的：yyy2y1f(x2)f(x1)，于是，平均变化率可以表示为

xr(V2)r(V1)f(x2)f(x1)y2y1

V2V1x2x1x2x1

学习线索二：感知平均变化率的几何意义？

让学生再次观察相应的课件，理解变化率的概念，并能从斜率的角度解释变化率的几何意义。

练习一：如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水，3分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则下面两个图象哪一个可以表示上述函数？

10

10 O 1 3 A t/m O 1 3 B t/m

练习二：

某人第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示:

s (m)

30

C (34, 33.4)

20

B (32, 18.4)

10

A (1, 2.9)

2

0

2

10

20

30

34

t(s)

1:AB段与BC段哪一段位移变化的多? 2:AB段与BC段哪一段位移变化的快? 3:在图形上用什么方法可直接看出哪一段位移变化的快? 引导学生观察平均变化率在函数图像上的直观体现，再与前面的斜率知识进行对比，体出平均变化率的几何意义就是两点间的斜率，最后结合几何画板演示加强学生对平均变化率的直观感受。

（三）讲解实例：

例1：在蹦极运动的过程中，物体下降的位移符合方程

请同学们计算

（1）物体从3秒到5秒间的平均速度。

（2）求物体在[2，2＋t]内的平均速度。

分别给出运用平均变化率的两种公式形式来求平均变化率，再从几何的角度对t作相应的变化后，进行初步的对平均变化率的感知。

(四)练习

练习3：已知函数

12s(t)gt，2f(x)2x1,g(x)2x

分别计算在t23，则在时间(3,3t)上相应的平均速9＋t

D．9＋t

C．3t区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率。

练习4：质点运动规律s度为（

）

A．

6＋t

B．6t

（五）回顾小结：

1．

由平均变化率的实际意义到数学意义，体现了实际问题数学化的过程，建立的数学模型具有抽象的特征，也蕴含着数学应用的广阔性。

2．

由于平均变化率只是一种粗略的刻画，从而有待于进一步精确化，随之而来的便是新的数学模型的建立。

（六）板书设计：

1.1.1变化率问题

1．平均速度

1：平均变化率的概念

练***均增长率

练习4 f(x2)f(x1)

3．气球膨胀率

x2x14．课件演示，体现函数增长的直观性

2．例1

（七）作业

P＝10，习题1.1A组1 思考：y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？

教学反思：