3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学目标设计

3.1.1直线倾斜角与斜率的教学设计

吴忠高级中学

李海毅

一、内容及其解析

“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、目标及其解析

目标：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

2、斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

解析：1、直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

直线的斜率:k=tan 2、经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式k=（x1≠x2）

三、问题诊断与分析

1．两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一点需要再增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的倾斜程度不同，从中形成倾斜角的概念，再经过作图发现经过平面上的一个点和它的倾斜角可以确定直线的位置。

2.对斜率概念的理解是本节的难点，教学中通过日常生活的例子（坡度概念），充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。

3.经过两点的直线的斜率是本节的一个难点，教材中花了大量的篇幅进行介绍和推导，但是问题的关键还是将求经过两点的直线的斜率转化为求经过这两点直线的倾斜角的正切值这一根本途径。教材后面用了2个例题和3个练习进行突破。

四、教学设计

（一）直线的倾斜角

问题1：请同学们在:平面直角坐标系中任作一直线，并与其他同学所作直线相比较，你认为确定一条直线的位置需要哪些条件？

设计意图：明确研究对象：探索确定直线位置的几何要素。

小问题1：如图2, 在平面直角坐标系中，两条直线都经过点P1，过点P1的这两条直线与x轴的倾斜程度相同吗？

1

y X

o

设计意图：引导学生从倾斜程度不同方面研究过定点的不同直线，从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线，为问题3作铺垫。

小问题2：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，数学中怎样用一个几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。

倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。 小问题3：根据倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？

设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是0180

小问题4：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？

设计意图：使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可。

说明：四种特殊角对应的直线：

（1）=0°时，直线与x轴重合或平行（与y轴垂直）；

（2）=90°时，直线与y轴重合或平行（与x轴垂直）；

（3）=45°时，直线与一、三象限角平分线重合或平行；

（4）=135°时，直线与二、四象限角平分线重合或平行。

（二）直线的斜率

问题2：什么是直线的斜率？怎样表示？

设计意图：告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化。

小问题1：初中学过的“坡度（比）”是什么含义？它与这条直线的倾斜角之间有什么关系？它能否表示直线的倾斜程度？

升高量坡度（比）

前进量

升高

α

前进

设计意图：从学生的现状出发，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法

2

小

问题2：我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？

小问题3：在坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，你能不能用一个数学式子来表示升高量和前进量之间的关系？

小问题4：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

设计意图：引导学生理解直线的倾斜程度除了用倾斜角表示外，还可以用倾斜角的正切值表示，体现了几何向代数的转化过程，由此引出斜率概念。

练习1：:当倾斜角=0o，30 o，45 o，60o时，这条直线的斜率分别等于多少？ 练习2：:当是锐角时，有tan（180

o

-）=－tan.那么当倾斜角=120

o，135 o，150 o时，这条直线的斜率分别等于多少？

练习3：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？

设计意图：沟通数形关系，加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。

练习4：当为锐角时，k

0；当a为钝角时，k

0；

当为90°时，k

（三）、斜率公式

问题3：已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直，即

x1≠x2，直线P1P2的斜率是什么？

设计意图：让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念的理解。

小问题1：下图中P1P2的水平距离是多少，垂直距离是多少？怎样表示∠α的正切？（设计意图：降低问题3的难度，同时巩固斜率的计算方法。）

y y P2（x2，y2）

P2（x2，y2）

P1（x1，y1）

P1（x1，y1）

X 

o （1）

o X （2）

y2y1小结：两点间斜率的计算公式k（x1≠x2）。

x2x1小问题2：当直线平行于x轴，或与x轴重合时，

y 上述公式还适用吗？为什么？

3

y o x

o x

小问题3：当直线平行于y轴，或与y轴重合时，

上述公式还适用吗？为什么？

小问题4：已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）运用上述公式计算直线P1P2的斜率时，与P1、、P2的顺序有关吗？

设计意图：通过自己的探索，完善两点式斜率公式k到公式与P1，P2两点的顺序无关。

练习：求经过下列两点直线的倾斜角。

1、 A（2，1），B（3，1）

2、 C（2，1），D（2，6）

（四）、应用举例

y2y1（x1≠x2），检验得x2x1例1.课本P85例1已知A(3,2),

B(-4,1), C(0,-1), 求直线AB, BC, CA,的斜率, 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

设计意图：直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。

例2.

P85例2. 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2及-3的直线l1, l2, l3及l4. 设计意图：要求学生画图，体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。

五

、课堂练习：P86练习：1、2，3，4 六、课堂小结：

1.

直线的倾斜角定义: 。

（１）特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定倾斜角＝ ；

（２）倾斜角的取值范围________ 。 2.直线的斜率的定义： 。

（垂直于x轴的直线斜率 ）

3、已知A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），则AB的斜率为 ．

4、对斜率k的定义及对斜率与倾斜角关系的理解

K=0时，倾斜角 ；

k>0时，倾斜角 ；

k<0时，倾斜角 ．

垂直于x轴的直线的倾斜角为 。

七、课堂作业：

P89习题3.1 A组：2，3，4．

4

5