3.2.1 几个常用函数的导数第二课时教学设计

§1.2.1几个常见函数的导数

【学情分析】

本节重要是介绍求导数的方法.根据导数定义求导数是最基本的方法.但是,由于最终总会归结为求极限,而本章并没有介绍极限知识,因此,教科书只是采用这种方法计算yc,yx,yx2,y1,yx这五个常见函数的导数.学生只要会用导数公式和求简单函数x的导数即可. 【教学目标】

1（1）用导数定义,求函数yc,yx,yx2,y,yx的导数. x（2）能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数. （3）理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题，培养学生的应用意识. 【教学重点】

1能用导数定义,求函数yc,yx,yx2,y,yx的导数. x【教学难点】

能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数. 【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

1、导数概念及其几何意义；

一、复习

引入

2、求函数的导数的方法是: （1）求函数的改变量yf(xx)f(x)

设计意图

为课题引入作铺垫. yf(xx)f(x)（2）求平均变化率

xxy（3）取极限，得导数y'f(x)lim

x0x1．函数yf(x)c的导数

二、讲授新课

根据导数定义，因为教师板演

形成规范

yf(xx)f(x)cc0

xxx深刻认识函数的内ylim00

所以ylimx0xx0涵，养成用数学知函数

导数

识解释现实问题的

yc

y0

习惯. y0表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数yf(x)x的导数

因为yf(xx)f(x)xxx1

xxxylim11

所以ylimx0xx0函数

yx

导数

y1

y1表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

（以教师计算演示为主,说明根据定义求导数这种方法的具体操作过程.）

让学生模仿, 根据具体步骤亲自尝试求导过程. 3．函数yf(x)x2的导数

因为

yf(xx)f(x)(xx)x

xxxx2xx(x)x2xx

x22222让学生上黑板演示，教师作出评价，并且引导学生归纳出幂函数的导数公式.

导数

y2x

ylim(2xx)2x

所以ylimx0xx0函数

yx2

y2x表示函数yx2图像（图3.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

4．函数yf(x)1的导数

x11yf(xx)f(x)xxx因为

xxxx(xx)1

2x(xx)xxxx所以ylimy11lim(2)2

x0xx0xxxx函数

y1

x导数

y1

2x5．函数yf(x)x的导数

因为yf(xx)f(x)xx(xx)xxxxx

x1xxxxxx

所以ylimy11lim()

x0xx0xxx2x推广：若yf(x)xn(nQ*)，则f(x)nxn1。

说明：请注意公式中的条件是nQ,但根据我们所掌握的知识,只能就

nN*的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数

公式.事实上n可以是任意实数. 三、师生互动，探究1：在同一平面直角坐标系中，画出函数继续探究

y2x,y3x,y4x的图象，并根据导数的定义，求它们的导数. (1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？

(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加问题逐层深入，为得最慢？

(3)函数ykx(k0)增（减）的快慢与什么有关？

后继学习做个铺垫。

培养学生数形结合教师指导学生分组进行探究性学习，分别展示探究结15(1)yx的能力，并掌握求3论，教师给予分析、评价并总结. (2)yx(x0)切线方程的方法

5

(3)yx4(x0)2

(4)yx3(x0)1探究2：画出函数y的图象.根据图象，描述它的x变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. 练习1．求下列函数的导数. 通过多角度的练习，并对典型错误

进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。

(1)yx15四、运用新知，体验成功

(2)yx3(x0)(3)yx(x0)(4)yx(x0)练习2．求三次曲线yx3在点(2,8)处的切线方程. (1)求函数yf(x)的导数的一般方法：

①求函数的改变量yf(xx)f(x). 2354五、课堂小结

yf(xx)f(x). xxy③取极限，得导数y/＝f(x)lim. x0x②求平均变化率(2)常见函数的导数公式：C'0；(xn)'nxn1 .

(12)作业布置:教科书P13探究二(函数变式: yx注:如果环节(8) ③中未完成则课后做作业. 练习与测试：

A．基础题. 1．求下列函数的导数：

（1）yx12

（2）yxx （3）y答案：（1）y'12x11

（2）y'3x

21),P18A组1,2,5 x1 （4）y5x3

4x （3）y'4x5

235 （4）yx

5'

2．已知函数f(x)x2，则f'(3)（ ）

（A）0 （B）2x （C）6 （D）9

答案：C 1，则f'(2)（ ）

x11（A）4 （B） （C）4 （D）

443．已知函数f(x)答案：D

4．已知函数f(x)x3的切线的斜率等于3，则其切线方程有（ ）

（A）1条 （B）2条 （C）多余2条 （D）不存在

答案：B

B．难题

1．已知P(1,1),Q(2,4)是曲线yx2上两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程．

解：P(1,1),Q(2,4)kPQ1令y'2x111得x,y

24所以曲线的切线方程为：11yx42即4x4y10

12．设曲线yx3过点(a,a3)的切线与直线xa,y0所围成的三角形面积为，求a. 3解：k(x3)'|xa3a2过点(a,a3)的切线方程为ya33a2(xa)即3a2x2a3y0令y0,得xS2a;xa,得ya33

12(aa)a3123a1