3.1.3 空间向量的数量积运算课堂实录及点评

第三章第一节空间向量的数量积 学习目标

1．理解空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2. 能用数量积判断向量的垂直；

3. 掌握两个空间向量的数量积的概念及其表示方法，并能利用两个空间向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．

________________________________________________________________________________ 自学探究 问题1. 什么是平面向量a与b的数量积？

你能用数量积解决什么问题？

问题2. 空间向量的数量积是什么？它和平面向量的联系和区别是什么？

问题3. 类比平面向量数量积的几何意义和解决的问题，你能得出空间向量的几何意义和运算律是什么？你能解决空间中哪些几何问题？

【试试】

(1) 范围: a,b a,b=0时,a与b ; a,b=π时,a与b (2)a,bb,a成立吗？ ⑶a,b ，则称a与b互相垂直，记作 .

(4)已知向量a,b，则 叫做a,b的数量积，记作ab，即ab .

【反思】

(1)两个空间向量的数量积是数量还是向量？

(2)0a （选0还是0）

(3)

空间向量数量积的性质：

①设单位向量e，则ae|a|cosa,e．②abab ．③aa ＝ .

(4）

（ab)ca(bc)吗？举例说明.

(5）

若abac，则bc吗？举例说明.

(6）

若ab0，则a0或b0吗？为什么？

【技能提炼】

1. 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

【反思】你能得出什么结论或方法吗?

【变式】用向量方法证明：已知：m,n是平面内的两条相交直线,直线l与平面的交点为B，且lm,ln. 求证：l．

2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1,则AB1与C1B所成的角为（ ）

A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°

教师问题创生

学生问题发现

变式反馈

1.下列命题中：

①若ab0，则a，b中至少一个为0②若a0且abac，则bc③(ab)ca(bc)

④(3a2b)(3a2b)9a4b正确有个数为（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

2. 已知向量22a,b满足a1，b2，ab3，则ab____. 2,ab2, 则a与b的夹角大小为_____.

24. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，

3.已知a22,bAB4,AD3,AA'5,BAD90,BAA'= DAA'=60°,求AC'的长.