3.2.2 直线的两点式方程优秀教学设计

3.2.2 直线的两点式方程

教学目标：

1．掌握两点式方程；截距式方程．

2．感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；

教材分析及教材内容的定位：

两点式是点斜式的应用，截距式是两点式的特殊情况，通过本节课的学习要明确两点式及截距式方程使用的限制条件，渗透分类讨论思想．

教学重点：

两点式直线方程的求解．

教学难点：

理解两点式方程的使用条件．

教学方法：

自主学习．

教学过程：

一、问题情境

本节课研究的问题是：——如何写出直线方程？——两个要素

（两个点）．

——已知直线上的两个点的坐标，如何描述直线上点的坐标的关系？

二、学生活动、

探究：若直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），点P在直线l上运动，那么点P的坐标(x，y)满足什么样条件？

事实上就是要求点P的轨迹方程，现在我们会的就是在上一节课讲过的，利用直线上的某个点和直线的斜率来写出直线方程．那现在知道两点，即直线的斜率可求，从而方程可求．

此时直线l的斜率为ky2y1，由直线的点斜式方程，得

x2x1y2y1(xx1).，

x2x1yy1当y1≠y2时，方程可以写成

yy1xx1.

y2y1x2x1这个方程是由直线上两点确定的．

三、建构数学

直线的两点式方程：

一般地，设直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则方程yy1xx1.

y2y1x2x1叫做直线的两点式方程．

说明：

（1）可以验证，直线l上的每个点的坐标都是这个方程的解，反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上；

（2）此时我们给出直线的一对要素：直线上的两个点，从而可以写出直线方程；

（3）当x1＝x2时，直线线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用两点式表示．但因为l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x＝x1．

当y1＝y2时，直线l与y轴垂直时，斜率k＝0，其方程不能用两点式标准形式表示．但因为l上每一点的纵坐标都等于y1，所以它的方程是y＝y1．

思考：

（1）方程yy1xx1的左、右两边各具有怎样的几何意义？

y2y1x2x1点(x，y)和(x1，y1)形成的斜率与点(x1，y1)和(x2，y2)形成的斜率相等．

（2）方程yy1y2y1yy1xx1和方程表示同一图形吗？

xx1x2x1y2y1x2x1不是，后者表示一直线，而前者是直线上除去点(x1，y1)之外的图形．

四、数学运用

例1 已知直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直线l的方程．

直线的截距式方程xay1

b在上面例1中，我们称b为直线l在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线l在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫做直线的截距式方程．

说明：

（1）当直线l过原点且与x轴、y轴都不垂直时，l在x轴和y轴上的截距都是0，不能用此式表示；

（2）直线的截距式方程是直线两点式方程的一种特殊情况，即给出了直线与x轴交点的横坐标、与y轴交点的纵坐标，从而给出了直线上两点的坐标；

（3）当直线与x轴垂直、或与y轴垂直、或过原点的时候，直线不能用截距式的标准形式来表示．

例2 已知三角形的顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，试求这个三角形三边所在直线的方程．

例3 已知直线l过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

练习：

1．已知菱形的两条对角线的长分别为8和6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程．

2．一根弹簧挂4kg的物体，长20cm．在弹性限度内，所挂物体

的质量每增加1kg，弹簧伸长1.5cm．试写出弹簧的长度l (cm)与所挂物体的质量m(kg)之间的关系．

3．（1）已知直线

l 经过点P(5，2)，且直线

l 在x，y轴上的截距互为相反数，求直线

l 的方程．

（2）直线l经过点(5，2)，且与两坐标轴围成等腰三角形，求直线l的方程． （3）直线l经过点(5，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 4．直线

l过点B(0，2)且与x轴交于A点，若|AB|＝4，求直线l的方程．

变式 求过点M（3，4）且与坐标轴围成的三角形面积是6的直线的方程

五、要点归纳与方法小结

如何利用直线上的两点写出直线方程？

——两点式（截距式）．