1.2.1 充要条件教案设计范例

1.2.1 充要条件

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.(重点) 2.会用充分不必要条件，必要不充分条件、充要条件.既不充分也不必要条件表达命题间的关系.(重点) 3.会求问题成立的充分条件、必要条件、充要条件，会证明充要条件.(难点、易错点)

[基础·初探] 教材整理1 充分条件与必要条件

阅读教材P9～P10部分，完成下列问题. 充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

“若p，则q”为真命题

p⇒q p是q的充分条件

q是p的必要条件

“若p，则q”为假命题

p⇒/

q

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.(

) (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(

) (3)x＞a2＋b2(a＞0，b＞0)是x＞2ab的充分条件.(

) 【答案】

(1)√

(2)×

(3)√

教材整理2 充要条件

阅读教材P11～P12部分，完成下列问题. 充要条件

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1.推出关系：p⇒q，且q⇒p，记作p⇔q. 2.简称：p是q的充分必要条件，简称充要条件. 3.意义：p⇔q，则p是q的充要条件或q是p的充要条件，即p与q互为充要条件.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(

) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.(

) (3)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立.(

) 【答案】

(1)√

(2)√

(3)√

[小组合作型]

判断下列各题中p是q的什么条件？

π1(1)p：α＝3，q：cos α＝2；

(2)在△ABC中，p：a＞b，q：sin A＞sin B；

(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形. 【精彩点拨】

根据定义法，集合法，等价法作出判断.

π11π【自主解答】

(1)∵α＝3⇒cos α＝2，cos α＝2⇒/α＝3，

∴p是q的充分条件.

ab(2)∵由正弦定理sin A＝sin B，

知a＞b⇒sin A＞sin B，sin A＞sin B⇒a＞b，

∴p是q的充要条件.

/四边形是平行四边形，四边形的对角线相等D⇒(3)∵

四边形是平行四边形D⇒/四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件. 充分、必要、充要条件的判断方法

1.定义法

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若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分条件；

若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.

2.集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A若AB，则p是q的充分条件；

B，则p是q的必要条件；

即小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围.

3.等价法

等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断. [再练一题] 1.设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的(

) A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】

由2x＞1＝20得x＞0，所以p⇒q但q⇒/

p，所以p是q的充分条件.

【答案】

A 2.指出下列命题中，p是q的什么条件？

(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；

(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；

(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(4)p：sin α＞sin β，q：α＞β.

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【解】

(1)∵x2＝2x＋1⇒/x＝2x＋1，

x＝2x＋1⇒x2＝2x＋1，

∴p是q的必要条件.

(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，

a＋b＝0⇒/a2＋b2＝0，

∴p是q的充分条件.

(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，反过来，当x－1＝x－1成立时，可以推出x＝1或x＝2，

∴p既是q的充分条件也是q的必要条件.

(4)由sin α＞sin β不能推出α＞β，反过来由α＞β也不能推出sin α＞sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

是否存在实数p，使4x＋p＜0是x2－x－2＞0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由. 【精彩点拨】

用集合的观点研究问题，先求出4x＋p＜0和x2－x－2＞0所对应的集合，再由“4x＋p＜0”⇒“x2－x－2＞0”求p的范围.

【自主解答】

由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，

令A＝{x|x＞2或x＜－1}，

由4x＋p＜0，得B＝

pxx＜－4

，

p当B⊆A时，即－4≤－1，即p≥4，

p此时x＜－4≤－1⇒x2－x－2＞0，

∴当p≥4时，4x＋p＜0是x2－x－2＞0的充分条件.

1.解答本题的关键是分清4x＋p＜0⇒x2－x－2＞0. 2.解答这类题主要根据充分条件、必要条件与集合的关系，转化为集合与集合间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.

[再练一题] 3.若p：x(x－3)<0是q：2x－3

【解析】

p：x(x－3)<0，则0

m＋3则x<2，

由题意知p⇒q，

m＋3∴2≥2，

∴m≥3.

【答案】

m≥3 [探究共研型] 探究1 如何证明充要条件？

【提示】

充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. 探究2

如何求解充要条件？

【提示】

探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

【导学号：97792005】

【精彩点拨】

分清条件p与结论q→证充分性p⇒q→证必要性q⇒p→结论p⇔q

【自主解答】

充分性：(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)

∵ac＜0，

∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0.

∴方程一定有两个不等实根.

c设为x1，x2，则x1x2＝a＜0，

∴方程的两根异号，

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.

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必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)

∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，

c则由根与系数的关系得x1x2＝a＜0，即ac＜0，

综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件⇒结论”是证明命题的充分性，由“结论⇒条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性.

已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.

【导学号：97792006】

【精彩点拨】

求解过程要保证每一步的变形转化过程都可逆，直接求出充要条件.

【自主解答】

令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根

2k－1⇔－2＞1，f1＞0件. Δ＝2k－12－4k2≥0，

⇔k＜－2.

因此k＜－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条

探求充要条件一般有两种方法

1.先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明.

2.将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证. 6/8

[再练一题] 114.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：x0. y－x1111【证明】

(1)必要性：由xy，得y－x<0，所以xy>0.

(2)充分性：由xy>0及x>y，

xy11得xy>xy，即x

11综上所述，x0.

1.“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的(

) 2A.充要条件

C.必要条件

B.充分条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】

由x＋2＞1得x＞－1，故选B.(小范围可推大范围，大范围不能推小范围)

【答案】

B 2.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(

) A.充分条件

C.必要条件

B.必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】

当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分.综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件.

【答案】

A 3.实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是(

) A.ab＝0 C.a2＋b2＝0 B.ab＞0 D.a2＋b2＞0 7/8

【解析】

a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.

【答案】

D 4.若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分条件，则m的取值范围是________. 【解析】

由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2，或x＜1}，∴m≤1.

【答案】

(－∞，1] 5.判断下列各题中p是q的什么条件. (1)p：x>1，q：x2>1；

(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

a(3)p：a

(1)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分条件.

(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件.

aaa(3)由于a1；当b>0时，b<1，故若a0，b>0，b<1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件.

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