3.2.1 几个常用函数的导数课程导入

3.2.1 几个常用函数的导数

【教学目标】

1.

能够用导数的定义求几个常用函数的导数；

2.

利用公式解决简单的问题。

【教学重点和难点】

1．重点：推导几个常用函数的导数；

2．难点：推导几个常用函数的导数。

【教学方法】

自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。

【教学过程】

一

复习

1、函数在一点处导数的定义；

2、导数的几何意义；

3、导函数的定义；

4、求函数的导数的步骤。

二

新课

例1．推导下列函数的导数

f(x)c

yf(xx)f(x)cc0，

解：xxxyf'(x)limlim00

x0xx0（1）

1. 求f(x)x的导数。

yf(xx)f(x)xxx1，

xxxy'lim11。

f(x)limx0xx0解：y'1表示函数yx图象上每一点处的切线的斜率都为1.若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

思考：(1).从求yx，y2x，y3x，y4x的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？

(2).函数ykx(k0)增的快慢与什么有关？

可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 2. 求函数yf(x)x的导数。

2'yf(xx)f(x)(xx)2x22xx，

解：

xxx

y'f'(x)limylim(2xx)2x。

x0xx0y'2x表示函数yx2图象上每点（x,y）处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化：

(1) 当x<0时，随着

x的增加，yx2减少得越来越慢；

（2）当x>0时，随着

x的增加，yx2增加得越来越快。

3. 求函数yf(x)1的导数。

x11yf(xx)f(x)xxxx(xx)12解：

，

xxxx(xx)xxxxy'f'(x)limy11lim(2)2

x0xx0xxxx[来源学科网][来源:Zxxk.Com]

思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？

kf'(1)1，所以其切线方程为yx2。

(2)改为点（3，3），结果如何？

(3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。

三

例题

1. 试求函数yf(x)解：

x的导数。

xxxx

yf(xx)f(x)xx　　(xxx)(xxx)x(xxx)1　＝(xxx)y'f'(x)limy11lim

x0xx0xxx2x2

2. 已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线yx上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方程。

解：y2x，设切点为M(x0,y0)，则y因为PQ的斜率k''xx02x0.

411,又切线平行于PQ，

21

所以k2x01，即x0111，切点M(,)，

224[来源:Zxxk.Com]所求直线方程为4x4y10。四

练习

1.如果函数f(x)5，则f'(1)（

）

A. 5

B. 1

C.

0

D.不存在[来源学科网Z|X|X|K]

2.曲线y2x21在点（0，1）的切线斜率是（

）

A.-4

B.0

C.2

D. 不存在

121x在点(1,)处切线的倾斜角为（

）

225

A. 

B. 1

C.

D.

444

3.曲线y[来源学科网]答案：

1.C

2.B

3.C 五

小结

1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；

2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。

六

作业

1.

P85 ，A组

1 2.求双曲线y

11过点(2,)的切线方程。

x2