3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案教学设计导入设计

§3.1

直线的倾斜角与斜率

3.1.1

倾斜角与斜率

学习目标

1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.

知识点一

直线的倾斜角

思考1

在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？

答案

不能. 思考2

在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？

答案

不同. 梳理

(1)倾斜角的定义

①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. (3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.

知识点二

直线的斜率与倾斜角的关系

(1)直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角(范围)

斜率(范围)

知识点三

过两点的直线的斜率公式

y2－y1过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. x2－x1

1.任一直线都有倾斜角，都存在斜率.(

×

) 2.若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(

×

) 3.若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan α.(

×

) α＝0°

k＝0

0°<α<90°

k>0

α＝90°

不存在

90°<α<180°

k<0

类型一

直线的倾斜角

例1

(1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(

) A.α＋40°

B.α－140°

C.140°－α

D.当0°≤α<140°时，为α＋40°；当140°≤α<180°时，为α－140°

考点

直线的倾斜角

题点

数形结合求倾斜角

答案

D 解析

因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，

当0°≤α<140°时，如图①所示，l1的倾斜角为α＋40°；

当140°≤α<180°时，如图②所示，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. (2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(

) A.0°≤α<90°

C.90°<α<180°

考点

直线的倾斜角

题点

数形结合求倾斜角

答案

C 解析

直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，

又直线l经过第二、四象限，

所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 反思与感悟

(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. (2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. 跟踪训练1

已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为

. 考点

直线的倾斜角

题点

数形结合求倾斜角

答案

60°或120°

解析

有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. B.90°≤α<180°

D.0°<α<180°

②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 类型二

直线的斜率

例2

经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2,3)，B(4,5)；

(2)C(－2,3)，D(2，－1)；

(3)P(－3,1)，Q(－3,10).

考点

直线的斜率

题点

由斜率公式计算斜率

解

(1)存在.直线AB的斜率kAB＝即tan α＝1，

又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°. (2)存在.直线CD的斜率kCD＝＝135°. (3)不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，所以倾斜角α＝90°. 反思与感悟

(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. (2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α

斜率k

跟踪训练2

(1)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为(

) A.3

B.－3

C.考点

直线的斜率

题点

倾斜角、斜率的计算

答案

A (2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为

. 考点

直线的斜率

题点

由斜率公式计算斜率

答案

0 类型三

直线的倾斜角、斜率的应用

命题角度1

三点共线问题

例3

如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值. 考点

三点共线

题点

三点共线求参数的值

33

D.－

330°

0

30°

3

345°

1

60°

3

120°

－3

135°

－1

150°

－3

3－1－3＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α2－－25－3＝1，

4－2

解

kAB＝m－11－m8－17＝，kAC＝＝，

4－2－26－24∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，

即1－m7＝，∴m＝－6. 44反思与感悟

斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因. 52m，，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，试确定常数m跟踪训练3

如果A2的值．

考点

三点共线

题点

三点共线求参数的值

解

由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，

因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC. 5＋12－1＋mm－17由斜率公式，得kAB＝＝，kBC＝＝. 82m－44m－84＋4∵点A，B，C在同一条直线上，

∴kAB＝kBC. ∴m－17＝，即m2－3m－12＝0，

84m－83＋573－57解得m1＝，m2＝. 223＋573－57∴m的值是或. 22命题角度2

数形结合法求倾斜角或斜率范围

例4

直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围. 考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角和斜率关系的其他应用

解

如图所示. 1－0∵kAP＝＝1，

2－1kBP＝3－0＝－3，

0－1∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，

∴45°≤α≤120°. 反思与感悟

(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决. y2－y1(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x≠x)求解. x2－x112(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解. 跟踪训练4

已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围. 考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角和斜率关系的其他应用

解

如图所示.

当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC.由已知得，kAB＝kAC＝3＋2515＝，所以直线AD的斜率的变化范围是7，3. 3－032－31＝，－4－37

1.对于下列说法：

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；

②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确说法的个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 考点

直线的倾斜角

题点

直线倾斜角概念的理解

答案

C 解析

①②③正确. 2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(

) A．2

B．1

C．－1

D．－2 考点

直线的斜率

题点

倾斜角、斜率的计算

答案

A 解析

由题意知，tan 45°＝2－3，得m＝2. 1－m1，m共线，则实数m的值为

. 3.若三点A(2,3)，B(3,2)，C2考点

三点共线

题点

三点共线求参数的值

9答案

2解析

设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式，得kAB＝2＝－(m－2). 5∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，

29即－1＝－(m－2)，解得m＝. 524.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是

.(其中m≥1) 考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角和斜率关系的其他应用

答案

(0°，90°] 解析

当m＝1时，倾斜角α＝90°；

3－2当m>1时，tan α＝>0，

m－1∴0°<α<90°.故0°<α≤90°. 5.已知点A(1,2)，在坐标轴上，求一点P使直线PA的倾斜角为60°. 考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角和斜率关系的其他应用

解

①当点P在x轴上时，设点P(a,0)，

因为A(1,2)，所以kPA＝0－22＝－. a－1a－13－2m－2＝－1，kBC＝12－3－32又因为直线PA的倾斜角为60°，

223所以tan 60°＝－，解得a＝1－. 3a－123所以点P的坐标为1－，0. 3②当点P在y轴上时，设点P(0，b). 同理可得b＝2－3，

所以点P的坐标为(0,2－3). 23综上，点P的坐标为(0,2－3)或1－，0. 3

直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：

直线情况

平行于x轴

0°<α<90°

k>0

k随α的增大而增大

0°

0

90°

不存在

垂直于x轴

90°<α<180°

k<0 k随α的增大而增大

α的大小

k的范围

k的增减情况

一、选择题

1.若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是(

) A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点

直线的倾斜角

题点

倾斜角、斜率的计算

答案

A 2＋3－23解析

由题意知k＝＝，

34－1∴直线的倾斜角为30°. 2.已知直线l的斜率的绝对值为3，则直线l的倾斜角为(

) A.60°

C.60°或120°

B.30°

D.30°或150°

考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角、斜率的计算

答案

C 解析

由题意知|tan α|＝3，

即tan α＝3或tan α＝－3，

∴直线l的倾斜角为60°或120°.

3．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为(

) 4A．－1

B．1

C．2

D.

3考点

直线的斜率

题点

倾斜角、斜率的计算

答案

D m－－24解析

由＝2，得m＝. 33－m4.直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是(

) A.[0°，90°]

B.[90°，180°) C.[90°，180°)或α＝0°

D.[90°，135°]

考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角、斜率与象限的关系

答案

C 5.在平面直角坐标系中，正△ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为(

) A.－23

C.3

B.0 D.23 考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角、斜率的计算

答案

B 解析

由BC边所在直线的斜率是0知，直线BC与x轴平行，所以直线AC，AB的倾斜角互为补角.根据直线斜率的定义知，直线AC，AB的斜率之和为0.故选B. 6.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(

)

A.k1

B.k3

C.k3

D.k1

考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角、斜率与象限的关系

答案

D 解析

由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，

且l2比l3的倾斜角大.∴k1

) A.α

C.180°－α或90°－α

考点

直线的倾斜角

题点

数形结合求倾斜角

答案

D 解析

当l方向向上的部分在y轴左侧时，如图①所示，倾斜角为90°＋α；当l方向向上的部分在y轴右侧时，如图②所示，倾斜角为90°－α.故选D. B.180°－α

D.90°＋α或90°－α

8.已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是(

) 1A.2

B.1

C.

D.0 2考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角、斜率与象限的关系

答案

A 解析

如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0,2].故直线l的斜率k的最大值为2.

二、填空题

9.已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是

. 考点

直线的倾斜角

题点

直线倾斜角概念的理解

答案

20°≤α<200°

解析

由0°≤α－20°<180°，得20°≤α<200°.

1110.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为

. ab考点

三点共线

题点

三点共线求参数的关系

1答案

2解析

由于A，B，C三点共线，所以此直线的斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，2－b21111C两点的坐标表示，于是＝，由此可得a＋b＝ab，两边同时除以ab，得＋＝. 22ab22－a11.已知点A(3,4)，在y轴上有一点B，若kAB＝2，则B点的坐标为

. 考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角、斜率的计算

答案

(0，－2) y－4解析

设B(0，y)，则＝2，即y＝－2.即B点的坐标为(0，－2). 0－312.已知直线PQ的斜率为－3，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是

. 考点

直线的斜率

题点

由倾斜角计算斜率

答案

3 解析

设直线PQ的倾斜角为θ，则0°≤θ<180°，

∵kPQ＝－3，

∴tan θ＝－3，则θ＝120°. 将直线绕点P顺时针旋转60°，

所得直线的倾斜角为60°，

∴其斜率为tan 60°＝3. 三、解答题

13.已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1). (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？

(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？

(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？

考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角和斜率关系的其他应用

解

(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，

2m＋5－12m＋4即k＝＝>0，

5m＋3－m－2

解得m>－2. 即当m>－2时，直线MN的倾斜角为锐角. (2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，

2m＋5－12m＋4即k＝＝<0，

5m＋3－m－2解得m<－2. 即当m<－2时，直线MN的倾斜角为钝角. (3)当直线MN垂直于x轴时，直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角. 四、探究与拓展

y14．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．

x考点

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

题点

倾斜角和斜率关系的其他应用

解

如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．

y由于的几何意义是直线OP的斜率，

x2且kOA＝2，kOB＝，

3y2所以可求得的最大值为2，最小值为. x3