3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案教学设计导入整理

倾斜角与斜率

岳西县汤池中学

张先明

【教学目标】

1.理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想. 2.掌握经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k=y2y1（x1≠x2），培养x2x1学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 【重点难点】

教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 【课时安排】

1课时

【教学过程】

导入新课

如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.

图1 推进新课

新知探究

提出问题

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①怎样描述直线的倾斜程度呢？

②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？

图2 ③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？

④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

⑤正切函数的定义域是什么？

⑥任何直线都有斜率么？

⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少? 活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. ．．．可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了. ②考虑正方向. ③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度. 规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°. ④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念. 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.

⑤教师介绍正切函数的相关知识.

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⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率. （倾斜角是90°的直线没有斜率）

⑦已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出. 讨论结果:①用倾斜角. ②都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违背. ③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角. ④有，常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在. ⑥倾斜角是90°的直线没有斜率. ⑦过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式k=应用示例

如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k=tanα＜0时,倾斜角α是钝角; 而当k=tanα＞0时,倾斜角α是锐角; 而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°. 解:解：直线AB的斜率直线BC的斜率kBCkCAy2y1. x2x1kAB121;437

1121;0(4)42

1231.033

直线CA的斜率k0k0ABCA由

及 知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；

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k<0BC由

知，直线BC的倾斜角为钝角．

变式训练

已知A(1,33),B(0,23),求直线AB的斜率及倾斜角. 解:kAB=33233, 10∵直线倾斜角的取值范围是0°—180°, ∴直线AB的倾斜角为60°. 例2 例2

在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4. 分析：找出直线异于原点的点

解：设A1（x1,y1）是l1上任一点，

y101,x01

根据斜率公式有:即x1=y1 设x1=1，则y1=1 ，

于是A1的坐标是（1,1）．

过原点及点A1（1,1）的直线即为l1．

同理l2是过原点及点A2（1，-1）的直线，

l3是过原点及点A3（1，2）的直线，

l4是过原点及点A4（1，-3）的直线

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

（1）1.直线倾斜角的定义及其范围：0180

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（2）2.斜率k与倾斜角

之间的关系：ktan(90)

y2y1y1y2k或k(x1x2)xxxx2112（3）3.斜率公式：

（4）“几何问题代数化”的思想

（5）

作业：另附

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